逆矩阵、克拉默法则与线性向量空间

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背景介绍

你已经知道如何通过代入法或消元法解二元一次方程组。但如果有五个方程五个未知数——甚至一百个呢？矩阵为我们提供了系统化的处理方法，而逆矩阵就是那把一步到位解出答案的钥匙：\(\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{f}\)。

本课我们将之前几节课的多条线索汇总在一起。首先，我们完成克拉默法则的证明，展示分子为何恰好是替换了一列后的行列式。然后我们证明一个微妙但重要的事实：如果 \(M^{-1}M = I\)，那么 \(M M^{-1} = I\) 也成立——逆矩阵从两边都有效。最后，我们进入新的领域：线性向量空间。我们给出严格定义，探索二维和三维中的例子，并认识矩阵的核——一个将方程的解与空间几何联系起来的概念。

Important核心要点

1. 克拉默法则（分子）：解的第 \(i\) 个分量为 \(x_i = \frac{\det(M_i)}{\det(M)}\)，其中 \(M_i\) 是将 \(M\) 的第 \(i\) 列替换为常数向量 \(\mathbf{f}\) 后得到的矩阵。
2. 逆的交换性：如果 \(M^{-1}M = I\)，那么 \(MM^{-1} = I\) 也成立——利用 \(M\) 的非零行列式来证明。
3. 线性向量空间：集合 \(V\) 是线性向量空间，如果它对线性组合封闭：对于任意 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V\) 和标量 \(\alpha, \beta\)，都有 \(\alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 \in V\)。
4. 核：\(\ker(M) = \{\mathbf{x} : M\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\) 总是一个线性向量空间。
5. 值域：\(\text{range}(M) = \{\mathbf{w} : \mathbf{w} = M\mathbf{u} \text{ 对某个 } \mathbf{u}\}\) 也是一个线性向量空间（作为课后习题证明）。

完成克拉默法则：分子从何而来

回顾设置。我们有方程组 \(M\mathbf{x} = \mathbf{f}\)，其中：

\[M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & \cdots & m_{1n} \\ m_{21} & m_{22} & \cdots & m_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ m_{n1} & m_{n2} & \cdots & m_{nn} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}\]

解为 \(\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{f}\)，其中逆矩阵由余子式构建：

\[(M^{-1})_{ij} = \frac{(-1)^{i+j} \, \mathcal{M}_{ji}}{\det(M)}\]

这里 \(\mathcal{M}_{ji}\) 是余子式（删除第 \(j\) 行第 \(i\) 列后得到的子矩阵的行列式）。

展开计算 \(x_1\)

要求 \(x_1\)，将 \(M^{-1}\) 的第一行乘以 \(\mathbf{f}\)：

\[x_1 = \frac{1}{\det(M)}\bigl(\mathcal{M}_{11}\,f_1 - \mathcal{M}_{21}\,f_2 + \mathcal{M}_{31}\,f_3 - \cdots + (-1)^{n+1}\mathcal{M}_{n1}\,f_n\bigr)\]

Tip为什么这是一个行列式

看括号中的表达式。每个 \(\mathcal{M}_{k1}\) 是原矩阵第 \(k\) 行第 \(1\) 列对应元素的余子式。但我们不是用 \(m_{k1}\)（原来第一列的元素）乘以每个余子式，而是用 \(f_k\) 来乘。

这恰好是沿第一列展开一个修改后的矩阵——即将 \(M\) 的第一列替换为 \(\mathbf{f}\) 的矩阵——的余子式展开：

\[M_1 = \begin{pmatrix} f_1 & m_{12} & \cdots & m_{1n} \\ f_2 & m_{22} & \cdots & m_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ f_n & m_{n2} & \cdots & m_{nn} \end{pmatrix}\]

余子式 \(\mathcal{M}_{k1}\) 保持不变，因为它们来自删除第 \(k\) 行和第 \(1\) 列——而我们只改变了第 \(1\) 列。所以分子就是 \(\det(M_1)\)，由此我们得到：

\[\boxed{x_i = \frac{\det(M_i)}{\det(M)}}\]

其中 \(M_i\) 是将 \(M\) 的第 \(i\) 列替换为 \(\mathbf{f}\) 后的矩阵。这就是克拉默法则。

Tip示例：\(2 \times 2\) 方程组的克拉默法则

解 \(\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

这里 \(M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)，\(\mathbf{f} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

\[\det(M) = 3(-1) - 2(1) = -5\]

\[x = \frac{\det\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}{\det(M)} = \frac{7(-1) - 2(1)}{-5} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}\]

\[y = \frac{\det\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}{\det(M)} = \frac{3(1) - 7(1)}{-5} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}\]

验证：\(3(9/5) + 2(4/5) = 27/5 + 8/5 = 35/5 = 7\)，\(9/5 - 4/5 = 5/5 = 1\)。

证明 \(M^{-1}M = I \implies MM^{-1} = I\)

矩阵乘法一般不满足交换律：\(AB \neq BA\)。因此，如果 \(M^{-1}M = I\)（左逆），\(MM^{-1} = I\)（右逆）并不显然成立。以下是课堂上推导出的优雅证明。

设置

已知 \(M^{-1}M = I\)。定义未知矩阵：

\[X = MM^{-1}\]

我们要证明 \(X = I\)。

第一步：发现 \(X\) 的性质

将 \(X\) 右乘 \(M\)：

\[XM = (MM^{-1})M = M(M^{-1}M) = MI = M\]

这里用了矩阵乘法的结合律。因此我们知道：

\[XM = M\]

改写为：

\[(X - I)M = 0\]

第二步：为什么 \((X - I)\) 必须是零矩阵

方程 \((X - I)M = 0\) 表示矩阵 \((X - I)\) 将 \(M\) 的每一列都映射为零向量。令 \(\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n\) 为 \(M\) 的列：

\[(X - I)\mathbf{c}_j = \mathbf{0} \quad \text{对 } j = 1, 2, \ldots, n\]

由于 \(\det(M) \neq 0\)，\(M\) 的列是线性无关的——它们张成整个 \(n\) 维空间。任何向量 \(\mathbf{v}\) 都可以写成线性组合 \(\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{c}_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf{c}_n\)。

由线性性：

\[(X - I)\mathbf{v} = \alpha_1 (X - I)\mathbf{c}_1 + \cdots + \alpha_n (X - I)\mathbf{c}_n = \alpha_1 \mathbf{0} + \cdots + \alpha_n \mathbf{0} = \mathbf{0}\]

既然 \((X - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 对所有向量 \(\mathbf{v}\) 成立，矩阵 \(X - I\) 必须是零矩阵。

Note两种完成证明的方式（来自课堂讨论）

Lucas 的方法（用 \(I\) 测试）： 选取 \(\mathbf{v}\) 为各个标准基向量 \(\mathbf{e}_1 = (1,0,\ldots,0)^T\)，\(\mathbf{e}_2 = (0,1,\ldots,0)^T\) 等。则 \((X - I)\mathbf{e}_j\) 提取出 \(X - I\) 的第 \(j\) 列，该列必须为零。所有 \(n\) 列都为零，因此 \(X - I = 0\)。

Toby 的方法（反证法）： 假设某个元素 \((X - I)_{ij} \neq 0\)。选取 \(\mathbf{v} = \mathbf{e}_j\)（在第 \(j\) 个位置为 \(1\)、其余为零的向量）。则 \((X - I)\mathbf{e}_j\) 在第 \(i\) 行有非零元素——与 \((X - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 矛盾。

两种方法都关键地使用了 \(\det(M) \neq 0\) 这一事实，它保证 \(M\) 的列张成 \(\mathbb{R}^n\)。

\[\boxed{X - I = 0 \implies MM^{-1} = I}\]

线性向量空间

线性向量空间 \(V_n\) 是一个对线性组合封闭的向量集合：

\[\text{对所有 } \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V_n \text{ 和所有标量 } \alpha, \beta \in \mathbb{R}: \quad \alpha\mathbf{v}_1 + \beta\mathbf{v}_2 \in V_n\]

这一个条件自动保证了：

• 缩放：令 \(\beta = 0\)，得 \(\alpha\mathbf{v}_1 \in V_n\)
• 零向量：令 \(\alpha = \beta = 0\)，得 \(\mathbf{0} \in V_n\)
• 加法：令 \(\alpha = \beta = 1\)，得 \(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 \in V_n\)

例子与反例

Tip直线 \(x = 2\) 是向量空间吗？

不是。 取该直线上的两个向量：\(\mathbf{v}_1 = (2, 0)\) 和 \(\mathbf{v}_2 = (2, 5)\)。将 \(\mathbf{v}_1\) 乘以 \(3\)：得到 \((6, 0)\)，其中 \(x = 6 \neq 2\)——它离开了这条直线。

此外，零向量 \((0, 0)\) 的 \(x = 0 \neq 2\)，因此它不在该集合中。一条直线必须过原点才能成为向量空间。

Tip三维空间中过原点的平面是向量空间吗？

是的。 平面上的任意两个向量都可以相加（平行四边形法则）和缩放，结果仍然在平面内。该平面是一个二维线性向量空间，尽管它位于三维空间中。

不过原点的平面则不行：它不包含 \(\mathbf{0}\)。

线性向量空间的层级

维度	描述	元素个数
\(0\)	仅包含零向量 \(\{\mathbf{0}\}\)	\(1\)
\(1\)	过原点的直线	\(\infty\)
\(2\)	过原点的平面	\(\infty\)
\(n\)	完整的 \(n\) 维空间 \(\mathbb{R}^n\)	\(\infty\)

最小的线性向量空间只有一个元素：\(\{\mathbf{0}\}\)。其他所有线性向量空间都有无穷多个元素。

仿射坐标与非正交基

如果两个向量 \(\mathbf{c}_1\) 和 \(\mathbf{c}_2\) 线性无关（不平行），它们张成整个二维平面。平面上的任何向量 \(\mathbf{v}\) 都可以分解为：

\[\mathbf{v} = \alpha \mathbf{c}_1 + \beta \mathbf{c}_2\]

系数 \((\alpha, \beta)\) 就是 \(\mathbf{v}\) 相对于基 \(\{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2\}\) 的仿射坐标。网格线形成平行四边形网格而非矩形网格，但每个点仍然被唯一确定。

矩阵的核

定义。 矩阵 \(M\) 的核（或零空间）是所有被 \(M\) 映射为零的向量的集合：

\[\ker(M) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : M\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\]

Note证明：核是一个线性向量空间

设 \(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \ker(M)\)，即 \(M\mathbf{x}_1 = \mathbf{0}\) 且 \(M\mathbf{x}_2 = \mathbf{0}\)。

对于任意标量 \(\alpha, \beta\)：

\[M(\alpha\mathbf{x}_1 + \beta\mathbf{x}_2) = \alpha M\mathbf{x}_1 + \beta M\mathbf{x}_2 = \alpha\mathbf{0} + \beta\mathbf{0} = \mathbf{0}\]

因此 \(\alpha\mathbf{x}_1 + \beta\mathbf{x}_2 \in \ker(M)\)。

关键步骤使用了矩阵乘法的线性性：\(M(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha M\mathbf{u} + \beta M\mathbf{v}\)。

核的两种情况

条件	核
\(\det(M) \neq 0\)（可逆）	\(\ker(M) = \{\mathbf{0}\}\)——仅有平凡解，零维空间
\(\det(M) = 0\)（奇异）	\(\ker(M)\) 包含非平凡解——维度 \(\geq 1\)

当 \(\det(M) = 0\) 时，\(M\) 的列线性相关，存在一整个子空间的向量被 \(M\) 压缩为零。

矩阵的值域（课后习题）

定义。 \(M\) 的值域（或列空间）是所有可以表示为 \(M\mathbf{u}\)（对某个 \(\mathbf{u}\)）的向量的集合：

\[\text{range}(M) = \{\mathbf{w} : \mathbf{w} = M\mathbf{u} \text{ 对某个 } \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\}\]

Warning课后习题

证明 \(\text{range}(M)\) 是一个线性向量空间。提示：采用与核的证明相同的方法。取值域中的两个向量 \(\mathbf{w}_1 = M\mathbf{u}_1\) 和 \(\mathbf{w}_2 = M\mathbf{u}_2\)，证明 \(\alpha\mathbf{w}_1 + \beta\mathbf{w}_2\) 也在值域中。

课程关键帧

速查表

概念	公式 / 规则
克拉默法则	\(x_i = \dfrac{\det(M_i)}{\det(M)}\)，其中 \(M_i\) 的第 \(i\) 列被替换为 \(\mathbf{f}\)
逆矩阵	\((M^{-1})_{ij} = \dfrac{(-1)^{i+j}\,\mathcal{M}_{ji}}{\det(M)}\)（余子式，转置）
逆的交换性	\(M^{-1}M = I \iff MM^{-1} = I\)（要求 \(\det(M) \neq 0\)）
线性向量空间	对 \(\alpha\mathbf{v}_1 + \beta\mathbf{v}_2\) 封闭，对所有标量 \(\alpha, \beta\)
必须包含 \(\mathbf{0}\)	在封闭条件中令 \(\alpha = \beta = 0\)
核	\(\ker(M) = \{\mathbf{x} : M\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)——总是一个线性向量空间
值域	\(\text{range}(M) = \{M\mathbf{u} : \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\}\)——总是一个线性向量空间
线性无关	\(\det(M) \neq 0 \iff\) \(M\) 的列张成整个 \(\mathbb{R}^n\)
仿射坐标	当 \(\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2\) 线性无关时，任意 \(\mathbf{v} = \alpha\mathbf{c}_1 + \beta\mathbf{c}_2\)
最小向量空间	\(\{\mathbf{0}\}\)（零维，一个元素）

快速参考：可逆矩阵的关键性质

性质	推论
\(\det(M) \neq 0\)	\(M\) 可逆
\(M^{-1}\) 存在	\(M\mathbf{x} = \mathbf{f}\) 有唯一解 \(\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{f}\)
列线性无关	它们张成 \(\mathbb{R}^n\) 并构成一组基
\(\ker(M) = \{\mathbf{0}\}\)	\(M\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 只有平凡解
\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)	乘积的行列式等于行列式的乘积