有理函数作图：从长除法到完整曲线

Published

December 6, 2025

图形计算器可以立即绘制任何函数，但它们常常会误导你。陡峭的垂直渐近线可能看起来像一条竖直线。两个靠近的根可能看起来像一个。一条几乎穿过渐近线的曲线在屏幕上可能不可见。

当你手绘图像时，你会理解曲线为什么会这样弯曲。你学会仅从方程就能预测行为——这在微积分、物理学和工程学中非常有用，因为你需要分析计算器无法完美处理的函数。

涵盖的主题

  • 有理函数的多项式长除法
  • 斜（倾斜）渐近线与水平渐近线
  • 分解分子和分母以找到截距和渐近线
  • 使用韦达定理从共轭复数根重构二次方程
  • 画任意有理函数图像的完整分步方法
  • 根的重数与曲线穿越行为

课程视频

课程关键帧

因式分解形式与长除法结果

多项式长除法详解

手绘图像（含渐近线和截距）

Desmos验证与窗口调整
Important核心要点

  1. 对 \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) 进行长除法，将函数分解为多项式部分加上一个在无穷远处趋近于零的真分式余数。

  2. 多项式部分就是渐近曲线（线性时为斜渐近线，二次时为抛物线渐近线，等等）。

  3. 垂直渐近线来自分母 \(Q(x)\) 的实数根。

  4. 曲线与斜渐近线的交点在余数的分子等于零的地方。

  5. 重数很重要：奇数重数的根导致符号变化（曲线穿过）；偶数重数的根导致弹回（曲线触碰后折返）。

  6. 始终检查端部行为以确定曲线在 \(\pm\infty\) 处是在渐近线上方还是下方。

背景介绍：有理函数与渐近线

有理函数是两个多项式的比：

\[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]

其中 \(P(x)\) 的次数为 \(n\)，\(Q(x)\) 的次数为 \(m\)。\(n\) 和 \(m\) 的关系决定了大尺度行为：

次数比较 渐近线类型 如何求
\(n < m\) 水平：\(y = 0\) 自动成立
\(n = m\) 水平：\(y = \dfrac{a_n}{b_m}\) 首项系数之比
\(n = m + 1\) 斜（倾斜）直线 多项式长除法
\(n > m + 1\) 多项式曲线 多项式长除法

在本课中，我们处理 \(n = m + 1\) 的情况，产生斜渐近线。

所研究的有理函数

本课分析的具体函数是：

\[R(x) = \frac{4x^7 - 4000x^6 + \cdots}{6x^6 - 10x - 1}\]

分子次数为7，分母次数为6，所以 \(n = m + 1\)，保证存在斜渐近线。

分母是一个6次多项式——一般情况下无法手工分解。使用Desmos或图形计算器，我们找到：

  • 两个实数根：\(x \approx -0.6\) 和 \(x \approx 1.7\)
  • 两对共轭复数根（不产生垂直渐近线）

分母的因式分解形式：

\[Q(x) = 6(x + 0.6)(x - 1.7)(x^2 + 0.41x + 0.37)(x^2 + 1.02x + 0.33)\]

两个不可分解的二次因式的判别式为负（\(b^2 - 4ac < 0\)），确认它们的根是复数。它们不产生垂直渐近线。

垂直渐近线：\(x = -0.6\) 和 \(x = 1.7\)

提取首项系数和公因子幂次：

\[P(x) = 4x^3(x + 0.09)(x - 999.9)(x^2 - 0.1x + 0.01)\]

由此得到x轴截距：

根 重数 行为
\(x = 0\) 3（三重，奇数） 曲线穿过 x轴
\(x \approx -0.09\) 1（单根，奇数） 曲线穿过 x轴
\(x \approx 999.9\) 1（单根，奇数） 曲线穿过 x轴

剩余的二次因式 \(x^2 - 0.1x + 0.01\) 的判别式为负，所以没有实数根，不贡献x轴截距。

第3步：多项式长除法

将 \(P(x)\) 除以 \(Q(x)\)：

  1. 将被除式的首项与除式的首项匹配。
  2. 将整个除式乘以该比率并相减。
  3. 重复直到余数的次数小于除式的次数。

结果：

\[R(x) = \underbrace{\text{商}}_{\text{多项式部分}} + \frac{\text{余数}}{Q(x)}\]

多项式部分就是渐近曲线。真分式当 \(x \to \pm\infty\) 时趋向零。

对我们的函数进行长除法：

\[R(x) = \frac{2}{3}x - \frac{5990}{9} + \frac{\text{余数}}{Q(x)}\]

斜渐近线为：

\[y = \frac{2}{3}x - \frac{5990}{9} \approx 0.667x - 665.6\]

我们要将 \(4x^7 - 4000x^6 + \cdots\) 除以 \(6x^6 - 10x - 1\)。

第1步：如果可能，提取公因数（系数除以2）：

\[\frac{2x^7 - 2000x^6 + \cdots}{3x^6 - 5x - \tfrac{1}{2}}\]

第2步：匹配首项：\(\dfrac{2x^7}{3x^6} = \dfrac{2}{3}x\)

第3步：将除式乘以 \(\dfrac{2}{3}x\) 并从被除式中减去。

第4步：商的下一项来自新的首项除以 \(3x^6\)，得到常数 \(-\dfrac{5990}{9}\)。

第5步：余数是一个5次多项式（次数小于6），除法结束。

第4步：分解余数的分子

长除法后的余数有一个5次分子。令其等于零，可以告诉我们 \(R(x)\) 在哪里穿过斜渐近线。

使用Desmos求余数分子的根：

  • 一个实数根：\(x \approx -0.6\)
  • 两对共轭复数根：\(x \approx -0.2 \pm 0.6i\) 和 \(x \approx 0.5 \pm 0.4i\)

给定一对共轭复数根 \(x = \alpha \pm \beta i\)，对应的二次因式为：

\[x^2 - (\text{根之和})\,x + (\text{根之积})\]

和：\((\alpha + \beta i) + (\alpha - \beta i) = 2\alpha\)

积：\((\alpha + \beta i)(\alpha - \beta i) = \alpha^2 + \beta^2\)

所以二次因式为：

\[x^2 - 2\alpha\, x + (\alpha^2 + \beta^2)\]

例子：对于根 \(-0.2 \pm 0.6i\)：

  • 和 \(= -0.4\)，所以 \(-a = -0.4 \Rightarrow a = 0.4\)
  • 积 \(= (-0.2)^2 + (0.6)^2 = 0.04 + 0.36 = 0.40\)

二次因式：\(x^2 + 0.4x + 0.40\)

例子：对于根 \(0.5 \pm 0.4i\)：

  • 和 \(= 1.0\)，所以 \(-a = 1.0 \Rightarrow a = -1.0\)
  • 积 \(= 0.25 + 0.16 = 0.41\)

二次因式：\(x^2 - 1.0x + 0.41\)

由于余数的唯一实数根是 \(x \approx -0.6\)，曲线与斜渐近线在一个点相交，非常接近 \(x = -0.6\) 处的垂直渐近线。这在该渐近线附近产生了一个非常紧凑的转弯。

第5步：完整的作图步骤

Important画 \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) 图像的总体方法

第一阶段——大尺度结构

  1. 进行多项式长除法得到渐近曲线（斜渐近线、水平渐近线或多项式曲线）。
  2. 从 \(Q(x)\) 的实数根找到垂直渐近线。

第二阶段——关键点

  1. 从 \(P(x)\) 的实数根找到所有x轴截距。注意每个根的重数（奇数 = 穿过，偶数 = 弹回）。
  2. 计算 \(R(0)\) 求y轴截距。
  3. 令余数的分子等于零，求与渐近线的交点。

第三阶段——描绘曲线

  1. 通过检查余数的符号，确定曲线在 \(x \to +\infty\) 时从渐近线的上方还是下方开始。
  2. 从右侧开始，通过所有关键点描绘曲线，注意：
    • 每个根处的重数（穿过还是弹回）
    • 垂直渐近线处的行为（奇数重数时符号变化）
    • 曲线不能穿过 x轴或渐近线，除非在已确定的点处

描绘曲线

从 \(x \to +\infty\) 开始：

余数的首项系数为负（被减去），对于大的正 \(x\)，奇数次分子为正而分母为正。总体余数为负，所以曲线从斜渐近线的下方开始。

真分式部分为：

\[-\frac{\text{（首项系数为正的5次多项式）}}{Q(x)}\]

对于大的正 \(x\)：分子为大正数，分母为大正数，但负号使整体为负。所以 \(R(x)\) 略小于斜渐近线的值——曲线在下方。

从右到左描绘：

  1. 从 \(x \to +\infty\) 处斜渐近线下方开始。
  2. 曲线必须在 \(x \approx 999.9\) 处遇到x轴截距（单根——穿过）。
  3. 当 \(x\) 从右侧接近垂直渐近线 \(x = 1.7\) 时，曲线下降到 \(-\infty\)。
  4. 从 \(x = 1.7\) 另一侧出来（分母中的单根——符号变化），曲线从 \(+\infty\) 出现。
  5. 曲线必须在 \(x \approx -0.6\) 处穿过渐近线（单一交点），从上方切换到下方。
  6. 它经过 \(x = 0\) 附近的x轴截距（三重根）和 \(x \approx -0.09\)（单根）。
  7. 在 \(x = -0.6\)（垂直渐近线）附近，曲线急剧下降。
  8. 在最左侧，曲线重新出现，当 \(x \to -\infty\) 时必须在斜渐近线上方结束。

检查 \(x \to -\infty\) 处的行为：

对于大的负 \(x\)：余数的奇数次分子变为负数，分母保持正数（偶数次主导项），但总体负号使余数为正。所以曲线在渐近线上方。这与我们的描绘一致。

交互式探索

探索一个带斜渐近线的简单有理函数：

这里 \(R(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}\)。长除法得到 \(R(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}\)，所以斜渐近线为 \(y = x + 2\)。注意曲线在两端如何趋近虚线。

对 \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 2}\) 进行长除法：

  1. \(\dfrac{x^2}{x} = x\)。回乘：\(x(x-2) = x^2 - 2x\)。相减：\((x^2 - 1) - (x^2 - 2x) = 2x - 1\)。

  2. \(\dfrac{2x}{x} = 2\)。回乘：\(2(x-2) = 2x - 4\)。相减：\((2x-1) - (2x-4) = 3\)。

结果：\(x + 2 + \dfrac{3}{x-2}\)。

余数 \(3\) 永远不为零，所以这条曲线永远不会穿过它的斜渐近线！

探索：根的重数对穿越行为的影响：

比较蓝色曲线（单根——穿过x轴）和紫色曲线（\(x=0\) 处的二重根——在x轴处弹回而不穿过）。

特殊情况：渐近线分类

设 \(R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\)，其中 \(\deg(P) = n\)，\(\deg(Q) = m\)。

条件 渐近线 方法
\(n < m\) 水平：\(y = 0\) 直接观察
\(n = m\) 水平：\(y = \dfrac{a_n}{b_m}\) 首项系数之比
\(n = m + 1\) 斜直线：\(y = cx + d\) 长除法
\(n > m + 1\) 多项式曲线 长除法

关键洞察：长除法始终有效。其他情况只是当商足够简单时可以直接读出的快捷方法。

速查表

任务 方法
垂直渐近线 分母 \(Q(x) = 0\) 的实数根
斜渐近线 多项式长除法 \(\to\) 商
x轴截距 分子 \(P(x) = 0\) 的实数根
y轴截距 计算 \(R(0)\)
在哪里穿过渐近线？ 令余数分子 \(= 0\)
在 \(\pm\infty\) 处在上方还是下方？ 检查对于大的 \(\pm x\) 余数的符号
在根处穿过还是弹回？ 奇数重数 = 穿过，偶数 = 弹回
垂直渐近线处是否变号？ 奇数重数因子 = 是，偶数 = 否

二次方程 \(x^2 + ax + b\) 的韦达定理

给定根 \(r_1, r_2\)：

\[r_1 + r_2 = -a, \qquad r_1 \cdot r_2 = b\]

对于共轭复数根 \(\alpha \pm \beta i\)：

\[x^2 - 2\alpha\, x + (\alpha^2 + \beta^2)\]

多项式长除法模板

\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{商}(x) + \frac{\text{余数}(x)}{Q(x)}\]

  • \(\deg(\text{余数}) < \deg(Q)\) 始终成立
  • \(\deg(\text{商}) = n - m\)
  • 当 \(x \to \pm\infty\) 时：\(\dfrac{\text{余数}}{Q(x)} \to 0\)，所以 \(R(x) \approx \text{商}(x)\)