求解三次方程、韦达定理与复数根

Tip为什么求解三次方程很重要

二次方程无处不在，但大自然不会止步于二次！

• 工程学：设计曲面需要求解三次（及更高次）多项式方程
• 物理学：有阻力介质中的抛体运动涉及三次关系
• 密码学：椭圆曲线方法依赖于有限域上的三次方程
• 历史：16世纪意大利求解三次方程的竞赛（卡尔达诺、塔尔塔利亚、费罗）是数学史上最精彩的故事之一

掌握三次方程还揭示了多项式的系数与其根之间的深刻联系——这一主题一直延伸到现代代数。

涵盖的主题

• 配立方消去三次方程
• \(u = \alpha + \beta\) 代换与分组
• 通过新变量 \(A = \alpha^3\)、\(B = \beta^3\) 将三次系统化为二次
• 韦达定理：不求解即可关联根与系数
• 找到一个根后的多项式长除法
• 共轭复数立方根与利用极坐标形式恢复所有三个实根

课程视频

课程关键帧

配立方与因式分解

韦达定理推导

对约化系统应用求根公式

复平面上的立方根与恢复所有三个实根

前置知识

Note什么是三次方程？

三次方程是最高次项为 \(x^3\) 的多项式方程。

一般形式： \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\)

例子：

• \(x^3 - 6x^2 + 7x = 0\) —— 三次方程
• \(x^3 - 5x + 2 = 0\) —— 三次方程（没有 \(x^2\) 项；这叫做降次三次方程）
• \(x^2 + 3x + 2 = 0\) —— 不是三次方程（这是二次方程）

Note什么是”配方”？

对于二次式 \(x^2 + ax + b\)，我们将其改写为 \(\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)\)。

配立方是类似的想法：对于 \(x^3 + ax^2 + \cdots\)，我们写成 \((x + \frac{a}{3})^3 + \cdots\)，使得 \(x^3\) 和 \(x^2\) 项被吸收，只剩下一次项和常数项需要处理。

Note什么是复数？

复数的形式为 \(a + bi\)，其中 \(i = \sqrt{-1}\)。

• 极坐标形式： \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\)，其中 \(r\) 是模，\(\theta\) 是辐角。
• 共轭： \(a + bi\) 的共轭是 \(a - bi\)。
• 一个复数与其共轭相加，得到 \(2a\) —— 总是实数！

我们在提取立方根时会大量使用极坐标形式。

核心概念

Important核心要点

1. 配立方通过代换 \(u = x - \frac{a}{3}\) 消去 \(x^2\) 项，将方程化为降次三次方程 \(u^3 + pu + q = 0\)。
2. \(\alpha + \beta\) 代换：令 \(u = \alpha + \beta\)，将展开后的表达式分为两组，每组令其为零。由此得到 \(\alpha^3 + \beta^3 = -q\) 和 \(3\alpha\beta = -p\)。
3. 韦达定理：对于 \(x^2 + ax + b = 0\)，设根为 \(x_1, x_2\)：\[x_1 + x_2 = -a, \qquad x_1 \cdot x_2 = b\]
4. 化为二次方程：令 \(A = \alpha^3\)，\(B = \beta^3\)，和与积的条件使我们可以将 \(A\) 和 \(B\) 作为一个二次方程的根来求解。
5. 所有三个根来自一个复数的三个立方根——在复平面上旋转 \(120°\)。

1. 配立方

基本思想

正如配方通过取线性系数的一半来吸收它，配立方通过取二次系数的三分之一来吸收它。

给定： \[x^3 - 6x^2 + 7x = 0\]

我们令 \((x - 2)^3\)，因为 \(\frac{6}{3} = 2\)。展开：

\[(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\]

所以原方程变为：

\[\underbrace{(x-2)^3}_{\text{absorbs } x^3 - 6x^2} - 5(x-2) + 2 = 0\]

Tip逐步验证

展开 \((x-2)^3\)：

\[x^3 - 6x^2 + 12x - 8\]

我们的方程是 \(x^3 - 6x^2 + 7x = 0\)。前两项吻合。剩余项为：

\[7x - 12x + 8 = -5x + 8\]

我们希望用 \((x-2)\) 来表示：

\[-5x + 8 = -5(x - 2) - 2\]

等等——让我们重新检查：\(-5(x-2) = -5x + 10\)。我们需要 \(-5x + 8\)，所以：

\[-5(x-2) + (8 - 10) = -5(x-2) - 2\]

合在一起：

\[(x-2)^3 - 5(x-2) - 2 = 0\]

令 \(u = x - 2\)，得到降次三次方程：

\[u^3 - 5u - 2 = 0\]

简单情形：可以直接因式分解

在课堂上，第一个例子使用了 \(+7x\)（而非 \(+9x\)），得到：

\[(x-2)^3 - 5(x-2) = 0\]

因式分解为：

\[(x-2)\bigl[(x-2)^2 - 5\bigr] = 0\]

根： \(x = 2\)，\(x = 2 + \sqrt{5}\)，\(x = 2 - \sqrt{5}\)。

2. 韦达定理

Important韦达定理（二次方程）

对于 \(x^2 + ax + b = 0\)，设根为 \(x_1\) 和 \(x_2\)：

\[x_1 + x_2 = -a \qquad \text{（根之和）}\] \[x_1 \cdot x_2 = b \qquad \text{（根之积）}\]

为什么成立？

Tip韦达定理（二次情形）的证明

如果 \(x_1, x_2\) 是根，多项式可因式分解为：

\[(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 x_2\]

与 \(x^2 + ax + b\) 比较：

• \(x\) 的系数：\(-(x_1 + x_2) = a \implies x_1 + x_2 = -a\)
• 常数项：\(x_1 x_2 = b\)

就是这样！不需要求根公式——只需展开并对比系数。

韦达定理推广到任意次数

Note三次方程的韦达定理

对于 \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\)，设根为 \(x_1, x_2, x_3\)：

\[x_1 + x_2 + x_3 = -a\] \[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b\] \[x_1 x_2 x_3 = -c\]

这些被称为根的对称函数，因为重新标记根的顺序不会改变它们的值。

示例：由和与积构造二次方程

如果已知 \(A + B = -2\) 且 \(A \cdot B = \left(\frac{5}{3}\right)^3\)，则 \(A\) 和 \(B\) 是以下方程的根：

\[z^2 + 2z + \frac{125}{27} = 0\]

这正是课堂上用来将三次方程化为二次方程的”逆向韦达”技巧。

3. 完整的三次方程求解机

第1步：化为降次形式

从 \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\)（课堂上的较难版本）开始。配立方：

\[u^3 - 5u + 2 = 0 \qquad \text{其中 } u = x - 2\]

第2步：代换 \(u = \alpha + \beta\)

展开：

\[\alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 - 5\alpha - 5\beta + 2 = 0\]

重新分组：

\[\underbrace{(\alpha^3 + \beta^3 + 2)}_{\text{第一组}} + \underbrace{(3\alpha\beta - 5)(\alpha + \beta)}_{\text{第二组}} = 0\]

令每组为零：

Tip为什么可以分别令每组为零？

我们有两个未知数（\(\alpha\) 和 \(\beta\)），但只有一个方程。这意味着我们有一个自由度。我们选择施加额外约束 \(3\alpha\beta = 5\)（第二组 = 0），这随后迫使第一组也等于零。

这是一个巧妙技巧：我们没有丧失一般性，因为原方程的任何解都可以用这种方式分解。

第3步：化为二次方程

令 \(A = \alpha^3\)，\(B = \beta^3\)。则：

\[A + B = -2 \qquad \text{且} \qquad AB = \left(\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{125}{27}\]

由韦达定理（逆向！），\(A\) 和 \(B\) 是以下方程的根：

\[z^2 + 2z + \frac{125}{27} = 0\]

Tip求解二次方程

使用求根公式：

\[z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - \frac{500}{27}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{\frac{108 - 500}{27}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{\frac{-392}{27}}}{2}\]

\[= -1 \pm \frac{\sqrt{392}}{2\sqrt{27}}\,i = -1 \pm \frac{14}{3\sqrt{27}}\,i = -1 \pm \frac{14\sqrt{3}}{27}\,i\]

所以 \(A\) 和 \(B\) 是共轭复数！这就是著名的不可约情形（casus irreducibilis）：即使三个根全是实数，中间的计算过程也必须经过复数。

第4步：用极坐标形式提取立方根

Tip转换为极坐标形式并开立方根

将 \(A = re^{i\theta}\) 写成极坐标形式，其中：

• \(r = |A| = \sqrt{1 + \frac{392}{27}} \approx \sqrt{15.52} \approx 3.94\)
• \(\theta = \pi - \arctan\!\left(\frac{14\sqrt{3}/27}{1}\right)\)

立方根为：

\[\alpha = r^{1/3}\,e^{i\theta/3}\]

因为角度只在模 \(2\pi\) 的意义下确定，所以通过在 \(\frac{\theta}{3}\) 上分别加 \(0\)、\(\frac{2\pi}{3}\) 和 \(\frac{4\pi}{3}\)，我们得到三个立方根。

每个立方根 \(\alpha_k\) 与其共轭 \(\beta_k\) 配对得到：

\[u_k = \alpha_k + \beta_k = 2\,\text{Re}(\alpha_k)\]

这总是实数，因为我们是在加共轭对！

4. 多项式长除法

一旦找到一个根（比如通过观察），你可以除以它来降低次数。

示例：\(u^3 - 5u + 2 = 0\)，根 \(u = 2\)

Tip长除法详解

将 \(u^3 + 0u^2 - 5u + 2\) 除以 \((u - 2)\)：

1. 匹配： \(u^3 \div u = u^2\)。写下 \(u^2\)。
2. 验算： \(u^2 \cdot (-2) = -2u^2\)。我们需要 \(0u^2\)，所以加 \(+2u\)。
3. 匹配： \(2u \cdot (-2) = -4u\)。我们有 \(-5u\)，需要 \(-5u - (-4u) = -u\) 更多。所以加 \(+1\)（因为需要 \(1 \cdot (-2) = -2\) 来完成：\(-5u + 4u = -u\)… 实际上让我们仔细算）：

完整过程：

\[\frac{u^3 - 5u + 2}{u - 2} = u^2 + 2u - 1\]

验证： \((u-2)(u^2 + 2u - 1) = u^3 + 2u^2 - u - 2u^2 - 4u + 2 = u^3 - 5u + 2\) ✓

现在求解 \(u^2 + 2u - 1 = 0\)：

\[u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\]

原方程 \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\) 的全部三个根（回忆 \(x = u + 2\)）：

\(u\)	\(x = u + 2\)	近似值
\(2\)	\(4\)	\(4\)
\(-1 + \sqrt{2}\)	\(1 + \sqrt{2}\)	\(\approx 2.414\)
\(-1 - \sqrt{2}\)	\(1 - \sqrt{2}\)	\(\approx -0.414\)

5. 复数立方根与 \(120°\) 旋转

当你对复数 \(re^{i\theta}\) 开立方根时，有三个结果：

\[r^{1/3}\,e^{i(\theta + 2k\pi)/3}, \qquad k = 0, 1, 2\]

这三个根在半径为 \(r^{1/3}\) 的圆上等距分布，相隔 \(120°\)。

拖动 \(\theta_0\) 滑块让三个立方根一起旋转。注意它们始终保持 \(120°\) 的间隔。

Tip为什么共轭立方根相加总是实数

如果 \(A = re^{i\theta}\)，则其共轭为 \(B = re^{-i\theta}\)。

它们的立方根（对于相同的 \(k\)）为：

\[\alpha_k = r^{1/3} e^{i(\theta + 2k\pi)/3}, \qquad \beta_k = r^{1/3} e^{-i(\theta + 2k\pi)/3}\]

相加：

\[\alpha_k + \beta_k = 2\,r^{1/3}\cos\!\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right)\]

这对每个 \(k\) 都是纯实数。\(k = 0, 1, 2\) 的每个值给出三次方程的一个不同实根。

速查表

方法	步骤
配立方	\(x^3 + ax^2 + \cdots \;\to\; (x + \frac{a}{3})^3 + \cdots\)（吸收 \(x^3\) 和 \(x^2\) 项）
降次三次方程	\(u^3 + pu + q = 0\)（没有 \(u^2\) 项）
韦达定理（二次）	\(x^2+ax+b=0\) 的根 \(x_1, x_2\)：和 \(= -a\)，积 \(= b\)
韦达定理（三次）	\(x^3+ax^2+bx+c=0\) 的根 \(x_1,x_2,x_3\)：\(\sum = -a\)，\(\sum_{\text{pairs}} = b\)，积 \(= -c\)
\(\alpha+\beta\) 方法	令 \(u=\alpha+\beta\)，施加 \(3\alpha\beta = -p\)，得到 \(\alpha^3+\beta^3=-q\)
化为二次方程	\(A=\alpha^3, B=\beta^3\)：求解 \(z^2 + qz + (-p/3)^3 = 0\)
多项式长除法	已知一个根 \(r\) \(\Rightarrow\) 除以 \((x-r)\) 得到一个二次方程
三个立方根	\(\sqrt[3]{re^{i\theta}} = r^{1/3}e^{i(\theta+2k\pi)/3}\)，\(k=0,1,2\)（相隔 \(120°\)）

快速参考：韦达定理

\[\boxed{x^2 + ax + b = 0 \implies x_1 + x_2 = -a,\quad x_1 x_2 = b}\]

\[\boxed{x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \implies \begin{cases} x_1+x_2+x_3 = -a \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = b \\ x_1x_2x_3 = -c \end{cases}}\]