配方法、判别式与圆锥曲线分类

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背景介绍

在之前的课程中，我们从多个角度研究了圆锥曲线：使用焦点和准线的几何定义，以及截锥体的物理图像。本课回到代数视角。从二元二次方程的一般形式出发，我们提出问题：仅凭系数如何判断图形的形状？

在此过程中，我们复习单变量二次函数的配方法，重新推导求根公式，然后将同样的判别式思想推广到二元二次型的分类——椭圆、双曲线或退化情形（一对直线、抛物线）。

Important核心要点

1. 配方法将 \(ax^2 + bx + c\) 改写为 \(a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\)，从而揭示顶点和对称轴。
2. 求根公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 是配方法的直接推论。
3. 对于一般圆锥曲线 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\)，只有二次系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 决定曲线的类型；一次项 \(d\)、\(e\)、\(f\) 只影响位置的平移。
4. 判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 对圆锥曲线进行分类：
   • \(\Delta < 0\)：椭圆（或圆）
   • \(\Delta = 0\)：抛物线
   • \(\Delta > 0\)：双曲线（两个不同的线性因子 \(\Rightarrow\) 两条渐近线）
5. 当二次部分分解为两个相同的线性因子（\(\Delta = 0\)）时，圆锥曲线退化；当分解为两个不同的线性因子（\(\Delta > 0\)）时，这些因子线成为双曲线的渐近线。

1. 复习：一般圆锥曲线方程

每条圆锥曲线都可以写成如下形式

\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\]

其中 \(a, b, c, d, e, f\) 是实数常数。这个方程可以表示圆、椭圆、抛物线、双曲线、一对直线，甚至一个点，取决于系数的不同。

Note为什么 \(d\)、\(e\)、\(f\) 不影响形状？

考虑单变量类比。\(y = x^2\) 和 \(y = x^2 + 6x + 11\) 的图形是完全相同的抛物线——第二个只是第一个平移到新位置：

\[x^2 + 6x + 11 = (x+3)^2 + 2\]

一次系数 \(6\) 和常数 \(11\) 产生水平平移 \(-3\) 和垂直平移 \(+2\)，但形状（宽或窄）完全由首项系数 \(1\) 决定。

同样的原理在二元情形下成立。\(dx + ey + f\) 这些项平移曲线但不改变它是椭圆还是双曲线。只有 \(a\)、\(b\)、\(c\)（二次部分）决定类型。

2. 配方法——单变量

给定二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a \neq 0\)：

第 1 步。 从 \(x\) 的各项中提取首项系数：

\[y = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c\]

第 2 步。 在括号内用一次系数的一半来配方：

\[y = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\]

第 3 步。 合并常数：

\[\boxed{y = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}}\]

Tip示例：对 \(y = 3x^2 + 12x + 7\) 配方

第 1 步。 提取 \(3\)：

\[y = 3\!\left(x^2 + 4x\right) + 7\]

第 2 步。 \(4\) 的一半是 \(2\)。写出 \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)，所以括号内多加了 \(4\)：

\[y = 3\!\left(x + 2\right)^2 - 3 \cdot 4 + 7 = 3(x+2)^2 - 5\]

结果： 顶点在 \((-2, -5)\)，对称轴为 \(x = -2\)，因为 \(a = 3 > 0\) 所以开口向上。

Tip常见错误：在错误的系数上配方

一个常见的错误是试图匹配常数 \(c\) 而不是一次系数 \(b\)。记住：始终匹配一次项 \(\frac{b}{a}x\)，而不是常数。常数是最后调整的。

如果 \(y = ax^2 + bx + c\)，你对 \(x\) 的系数 \(\frac{b}{a}\) 配方，取其一半：\(\frac{b}{2a}\)。

从顶点式读取图形信息

由 \(y = a(x - h)^2 + k\)：

特征	值
顶点	\((h, k)\)
对称轴	\(x = h = -\frac{b}{2a}\)
开口方向	\(a > 0\)（向上）/ \(a < 0\)（向下）
宽窄程度	仅由 \(|a|\) 决定

拖动滑块观察 \(a\) 如何控制形状，而 \(h\) 和 \(k\) 只是平移抛物线。

3. 推导求根公式

Note证明：由配方法推导求根公式

从 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）出发。

由配方法已有：

\[a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = 0\]

整理：

\[a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a}\]

两边除以 \(a\)：

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\]

开方（注意 \(\pm\)）：

\[x + \frac{b}{2a} = \pm\,\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

解出 \(x\)：

\[\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\]

根号下的表达式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 称为判别式。它告诉你二次方程有两个不同实根（\(\Delta > 0\)）、一个重根（\(\Delta = 0\)），还是没有实根（\(\Delta < 0\)）。

4. 由点构造二次函数

Tip示例：求过 \((4, 7)\)、\((10, 7)\)、\((0, 20)\) 的二次函数

第 1 步. 找出对称轴。 点 \((4, 7)\) 和 \((10, 7)\) 有相同的 \(y\) 值，所以对称轴在它们的中点：

\[x = \frac{4 + 10}{2} = 7\]

第 2 步. 写出顶点式。 抛物线的形式为：

\[y = a(x - 7)^2 + k\]

第 3 步. 用对称点对求 \(k\)。 代入 \((4, 7)\)：

\[7 = a(4 - 7)^2 + k = 9a + k\]

第 4 步. 使用第三个点。 代入 \((0, 20)\)：

\[20 = a(0 - 7)^2 + k = 49a + k\]

第 5 步. 求解方程组。 相减：\(20 - 7 = 49a - 9a\)，得 \(13 = 40a\)，所以 \(a = \frac{13}{40}\)。

则 \(k = 7 - 9 \cdot \frac{13}{40} = 7 - \frac{117}{40} = \frac{163}{40}\)。

\[y = \frac{13}{40}(x - 7)^2 + \frac{163}{40}\]

因式分解法的捷径。 由于对称轴在 \(x = 7\)，将抛物线下移 \(7\) 使根在 \(x = 4\) 和 \(x = 10\)。所以：

\[y - 7 = a(x - 4)(x - 10)\]

代入 \((0, 20)\)：\(\;13 = a(-4)(-10) = 40a\)，得 \(a = \frac{13}{40}\)。几秒钟就完成了。

5. 用判别式分类圆锥曲线

现在我们将判别式的思想推广到二元情形。考虑一般圆锥曲线的二次部分：

\[ax^2 + bxy + cy^2\]

要分类圆锥曲线，将其视为关于 \(x\) 的二次式（以 \(y\) 为参数），检查它是否可以分解为两个线性表达式：

\[ax^2 + bxy + cy^2 = a\!\left(x - r_1 y\right)\!\left(x - r_2 y\right)\]

这种分解在实数范围内成立的充要条件是判别式

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

非负。

分类表

判别式	可分解性	圆锥曲线类型
\(b^2 - 4ac < 0\)	在实数范围内不可分解	椭圆（若 \(a = c\)，\(b = 0\) 则为圆）
\(b^2 - 4ac = 0\)	分解为相同的线性因子	抛物线（退化：一条线或平行线）
\(b^2 - 4ac > 0\)	分解为两个不同的线性因子	双曲线（退化：两条相交的线）

Note为什么分解为两条线会得到双曲线？

假设二次部分分解为 \((px + qy)(rx + sy)\)，且两个因子确实是不同的线。那么完整的圆锥曲线方程形如：

\[(px + qy + \alpha)(rx + sy + \beta) = k\]

对于任何非零常数 \(k\)，两个因子都不能为零——它们是”不可触及的”。但一个因子可以任意趋近于零，同时另一个趋于无穷大，所以曲线趋近于两条线 \(px + qy + \alpha = 0\) 和 \(rx + sy + \beta = 0\)，但永远不会与它们相交。

这两条线就是双曲线的渐近线。

如果两个因子恰好平行（互为标量倍数，如 \(x + 2y\) 和 \(2x + 4y\)），那么一个因子趋近于零会迫使另一个也趋近于零——不可能出现一个趋于无穷而另一个趋于零的情况。在这种退化情形（\(\Delta = 0\)）下，不会得到双曲线。

Tip示例：分类 \(2x^2 + 5xy + 2y^2 - 7x - 8y + 6 = 0\)

计算二次部分的判别式：

\[\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0\]

由于 \(\Delta > 0\)，这是双曲线。二次部分可分解为：

\[2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x + y)(x + 2y)\]

直线 \(2x + y = \text{常数}\) 和 \(x + 2y = \text{常数}\) 是渐近方向。

Tip示例：分类 \(x^2 + 2xy + y^2 + 3x - y + 1 = 0\)

计算判别式：

\[\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0\]

由于 \(\Delta = 0\)，二次部分分解为相同因子：

\[x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\]

这是一个退化圆锥曲线——可能是抛物线或一对重合/平行线，取决于剩余项。

Tip示例：分类 \(x^2 + xy + y^2 - 2x + 4 = 0\)

计算判别式：

\[\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0\]

由于 \(\Delta < 0\)，这是椭圆。二次型 \(x^2 + xy + y^2\) 不能在实数范围内分解为两个线性表达式。

6. 从因式分解到渐近线——一个具体图像

虚线是渐近线。双曲线趋近它们但永远不会相交。如果两条因子线相同，曲线将退化为抛物线或退化情形。

7. 单变量判别式与二元判别式的联系

注意其中优美的对应关系：

	单变量：\(ax^2 + bx + c = 0\)	二元：\(ax^2 + bxy + cy^2\)
判别式	\(b^2 - 4ac\)	\(b^2 - 4ac\)
\(\Delta > 0\)	两个不同实根	分解为两条不同的线 \(\to\) 双曲线
\(\Delta = 0\)	一个重根	相同因子 \(\to\) 抛物线 / 退化
\(\Delta < 0\)	无实根	不可分解 \(\to\) 椭圆

这不是巧合。对二元二次型 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 的分类等价于求解 \(at^2 + bt + c = 0\)（其中 \(t = x/y\)），而判别式完全相同。

速查表

需要的内容	公式 / 方法
配方法	\(ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\)
对称轴	\(x = -\frac{b}{2a}\)
求根公式	\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
判别式（单变量）	\(\Delta = b^2 - 4ac\)：正 \(\to\) 2 个根，零 \(\to\) 1 个根，负 \(\to\) 0 个实根
圆锥曲线类型（二元）	由 \(ax^2 + bxy + cy^2\)：计算 \(\Delta = b^2 - 4ac\)
椭圆	\(\Delta < 0\)（不可分解）
抛物线 / 退化	\(\Delta = 0\)（重复因子）
双曲线	\(\Delta > 0\)（两个不同因子 \(\to\) 两条渐近线）
形状与位置	只有 \(a, b, c\) 决定形状；\(d, e, f\) 只影响平移
由点求二次函数	利用匹配的 \(y\) 值找对称轴，再用因式分解或顶点式

配方法快速步骤

\[y = ax^2 + bx + c\]

1. 提取 \(a\)：\(\;y = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c\)
2. 内部系数取半：\(\;\frac{b}{2a}\)
3. 写出完全平方：\(\;\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\)
4. 减去多加的部分：\(\;y = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}\)

圆锥曲线分类一览

\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \quad\xrightarrow{\;\Delta = b^2 - 4ac\;}\quad \begin{cases} \Delta < 0 & \text{椭圆} \\ \Delta = 0 & \text{抛物线} \\ \Delta > 0 & \text{双曲线} \end{cases}\]