二次型的因式分解、特征值与圆锥曲线分类

Tip为什么这很重要：圆锥曲线无处不在

圆锥曲线——椭圆、双曲线和抛物线——在科学和工程中随处可见：

• 行星轨道遵循椭圆（开普勒第一定律）
• GPS 和雷达利用双曲线进行定位
• 望远镜反射镜是抛物面的，将光线聚焦到一个点
• 地震检测利用各站点到达时间差形成的双曲线

在本课中，我们学习如何取任意二元二次方程，仅用三个数就能立即分类——无需画图！

本课内容

• 一般二次型 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 的因式分解
• 单变量与二元因式分解的联系
• 特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 作为特征方程的根
• 判别式判定：\(b^2 - 4ac\) 分类圆锥曲线
• 将一次项吸收到因式分解形式中
• 抛物线的坐标变换与坐标轴旋转

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课程关键帧

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预备知识

Note复习：求根公式

对于单变量二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，两个根为：

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

表达式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 称为判别式。它揭示了根的性质：

• \(\Delta > 0\)：两个不同的实根
• \(\Delta = 0\)：一个重根（二重根）
• \(\Delta < 0\)：无实根（复数根）

Note复习：二次式的因式分解形式

如果二次式 \(ax^2 + bx + c\) 的根为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，则它可分解为：

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

例如，\(x^2 - 11x + 28\) 的根为 \(x_1 = 7\)，\(x_2 = 4\)，所以：

\[x^2 - 11x + 28 = (x - 7)(x - 4)\]

Note什么是圆锥曲线？

圆锥曲线是用平面截取圆锥面所得到的曲线。二元二次方程的一般形式为：

\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + fy + g = 0\]

根据系数的不同，它可以是椭圆、双曲线、抛物线或退化情形（两条直线、一个点等）。

核心概念

Important核心要点

1. 圆锥曲线的类型完全由三个首项系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 通过判别式 \(b^2 - 4ac\) 决定。
2. 特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是将 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 视为关于 \(x/y\) 的二次方程时的根。
3. 分类：
   • \(b^2 - 4ac > 0\) \(\Longrightarrow\) 双曲线（两个不同实特征值，两条渐近线）
   • \(b^2 - 4ac = 0\) \(\Longrightarrow\) 抛物线（一个重特征值，一个对称方向）
   • \(b^2 - 4ac < 0\) \(\Longrightarrow\) 椭圆（无实数分解，封闭曲线）
4. 对于抛物线，我们用垂直的新变量 \(u\) 和 \(v\) 旋转坐标轴，恢复标准形式。

1. 从一元到二元：二次型的因式分解

单变量因式分解

从 \(ax^2 + bx + c\) 出发，提取 \(a\) 并用求根公式求得根 \(x_1, x_2\)：

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

推广到二元

现在考虑二元二次型（圆锥曲线的二次项部分）：

\[ax^2 + bxy + cy^2\]

Tip因式分解技巧如何推广？

比较单变量情形 \(x^2 - 11x + 28 = (x-7)(x-4)\) 与：

\[x^2 - 11xy + 28y^2\]

注意变化：凡是出现常数的地方，现在变成了该常数乘以 \(y\)。所以分解变成：

\[x^2 - 11xy + 28y^2 = (x - 7y)(x - 4y)\]

每个因子现在是 \(x\) 和 \(y\) 的线性组合，代表过原点的一条直线！

要分解 \(ax^2 + bxy + cy^2\)，我们把它看作关于 \(x\) 的二次式（\(y\) 为参数）。除以 \(a\) 并以比值 \(\lambda = x/y\) 为未知数，两个根 \(\lambda_1, \lambda_2\) 满足：

\[\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

因式分解形式为：

\[ax^2 + bxy + cy^2 = a(x - \lambda_1 y)(x - \lambda_2 y)\]

我们称 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\) 为二次型的特征值。

绿色曲线 \(x^2 - 11xy + 28y^2 = 1\) 是一条双曲线，其渐近线（虚线）恰好是两个线性因子令其为零后的直线。

2. 用判别式分类圆锥曲线

由二次型 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 得到的判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 告诉我们一切：

情形 1：\(b^2 - 4ac > 0\) —— 双曲线

存在两个不同的实根 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)。二次型分解为两条不平行的线：

\[a(x - \lambda_1 y)(x - \lambda_2 y)\]

Tip为什么两个不同特征值保证是双曲线

当 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) 时，有两个重要推论：

1. 一次项可以被吸收。 要容纳 \(dx + fy\)，我们求解： \[A + B = d, \quad -B\lambda_1 + A\lambda_2 = f\] 这个 \(2 \times 2\) 方程组恰好有唯一解，因为 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)（两条线不平行，所以它们相交）。

2. 存在渐近行为。 令 \((x - \lambda_1 y + A)(x - \lambda_2 y + B) = h\)（某个常数），一个因子可以趋近于零而另一个趋于无穷。这只在两条线 \(x - \lambda_1 y + A = 0\) 和 \(x - \lambda_2 y + B = 0\) 不平行时才可能（斜率 \(1/\lambda_1\) 与 \(1/\lambda_2\) 不同）。这些线就是渐近线。

情形 2：\(b^2 - 4ac = 0\) —— 抛物线

重根 \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) 意味着二次型是一个完全平方：

\[a(x - \lambda y)^2\]

我们不能将两个一次项都吸收到一个因子中，所以要定义新的垂直坐标，在旋转后的坐标系中得到抛物线。

情形 3：\(b^2 - 4ac < 0\) —— 椭圆

不存在实根——二次型不能在实数范围内分解。曲线是封闭的：是一个椭圆（圆是其特殊情形）。

拖动 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的滑块，观察圆锥曲线的类型变化。\(D = b^2 - 4ac\) 的值实时更新——正值对应双曲线，零值是过渡点，负值对应椭圆。

3. 吸收一次项：完整方程

从一般圆锥曲线出发（除以后令 \(a = 1\)）：

\[x^2 + bxy + cy^2 + dx + fy + g = 0\]

分解二次部分后，我们想写成：

\[(x - \lambda_1 y + A)(x - \lambda_2 y + B) = h\]

其中 \(h = AB - g\)。

Tip求 A 和 B

展开左边并匹配一次系数：

\[\begin{cases} A + B = d \\ -B\lambda_1 + A\lambda_2 = f \end{cases}\]

这是关于 \(A\) 和 \(B\) 的 \(2 \times 2\) 线性方程组。当行列式不为零时有唯一解，而这恰好在 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) 时成立。

当 \(\lambda_1 = \lambda_2\)（抛物线情形）时，方程组可能无解——意味着我们无法将方程写成两个线性因子的乘积。此时需要进行坐标旋转。

两条线 \(x - \lambda_1 y + A = 0\) 和 \(x - \lambda_2 y + B = 0\) 是双曲线的渐近线。它们的斜率分别为 \(1/\lambda_1\) 和 \(1/\lambda_2\)，由于 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，它们保证不平行。

4. 抛物线的坐标旋转

当 \(b^2 - 4ac = 0\)（重根 \(\lambda\)）时，二次部分变为 \((x - \lambda y)^2\)，我们定义新变量：

\[u = x - \lambda y, \qquad v = \lambda x + y\]

Important为什么选择这些特定的新变量？

直线 \(u = 0\) 和 \(v = 0\)（即 \(x - \lambda y = 0\) 和 \(\lambda x + y = 0\)）互相垂直！

证明： \(x - \lambda y = 0\) 的斜率是 \(\frac{1}{\lambda}\)。\(\lambda x + y = 0\) 的斜率是 \(-\lambda\)。它们的乘积为： \[\frac{1}{\lambda} \times (-\lambda) = -1\] 斜率之积为 \(-1\) 的两条线互相垂直。这保证了 \(u\) 和 \(v\) 构成一个正确的（旋转后的）坐标系。

在新坐标中，方程变为：

\[u^2 + (\text{关于 } u \text{ 和 } v \text{ 的一次项}) + (\text{常数}) = 0\]

对 \(u\) 配方后，得到如下形式：

\[(u - \alpha)^2 = \beta v + \gamma\]

这就是旋转后的 \((u, v)\) 平面中的抛物线！

5. 计算示例：\(4x^2 - 4xy + y^2 + 10x - 7y + 1 = 0\)

Tip第 1 步：识别二次型并计算判别式

二次项为 \(4x^2 - 4xy + y^2\)。

\[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0\]

由于 \(\Delta = 0\)，这是抛物线。

Tip第 2 步：分解二次项

\[4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2\]

所以 \(\lambda = \frac{1}{2}\)（由 \(x - \lambda y = 0\) 得到 \(2x - y\)，即 \(\lambda = 1/2\)）。

Tip第 3 步：定义垂直坐标

需要 \(v\) 垂直于 \(u = 2x - y\)。\(2x - y = 0\) 的斜率为 \(2\)，所以需要斜率为 \(-1/2\)：

\[u = 2x - y, \qquad v = x + 2y\]

这两个方向互相垂直，因为斜率 \(2\) 和 \(-\frac{1}{2}\) 互为负倒数。

Tip第 4 步：求常数以完成因式分解形式

我们写成：

\[(2x - y + A)^2 + B(x + 2y) + C = 0\]

展开 \((2x - y + A)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 + 4Ax - 2Ay + A^2\)

匹配 \(x\) 的系数：\(4A + B = 10\)

匹配 \(y\) 的系数：\(-2A + 2B = -7\)

求解：

\[\begin{cases} 4A + B = 10 \\ -2A + 2B = -7 \end{cases}\]

由第二个方程：\(B = \frac{2A - 7}{2}\)

代入：\(4A + \frac{2A - 7}{2} = 10 \Rightarrow 8A + 2A - 7 = 20 \Rightarrow 10A = 27 \Rightarrow A = \frac{27}{10}\)

则 \(B = \frac{27/5 - 7}{2} = \frac{-8/5}{2} = -\frac{4}{5}\)

常数：\(C = 1 - A^2 = 1 - \frac{729}{100} = -\frac{629}{100}\)

所以方程变为：

\[(2x - y + \tfrac{27}{10})^2 = \tfrac{4}{5}(x + 2y) + \tfrac{629}{100}\]

这是在 \((u, v)\) 坐标中的抛物线，具有：

• 对称轴沿 \(v\) 方向：直线 \(x + 2y = \text{常数}\)
• 开口方向由 \(v\) 的系数决定

蓝色曲线为抛物线 \(4x^2 - 4xy + y^2 + 10x - 7y + 1 = 0\)。红色虚线是对称轴。橙色和绿色点线分别表示旋转坐标系的 \(u\) 方向和 \(v\) 方向——注意它们互相垂直。

6. 总结：分类算法

Note逐步步骤

给定 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + fy + g = 0\)：

1. 计算 \(\Delta = b^2 - 4ac\)

2. 若 \(\Delta > 0\)（双曲线）：

   • 用求根公式求 \(\lambda_1, \lambda_2\)
   • 分解：\(a(x - \lambda_1 y)(x - \lambda_2 y)\)
   • 求解 \(2 \times 2\) 方程组得到 \(A, B\) 以吸收一次项
   • 结果：\((x - \lambda_1 y + A)(x - \lambda_2 y + B) = h\)
   • 渐近线：\(x - \lambda_1 y + A = 0\) 和 \(x - \lambda_2 y + B = 0\)

3. 若 \(\Delta = 0\)（抛物线）：

   • 分解：\(a(x - \lambda y)^2\)（完全平方）
   • 定义垂直坐标：\(u = x - \lambda y\)，\(v = \lambda x + y\)
   • 求常数 \(A\) 使得 \(u + A\) 尽可能多地吸收一次项
   • 配方得到 \((u + A)^2 = \beta v + \gamma\)（抛物线标准形式）

4. 若 \(\Delta < 0\)（椭圆）：

   • 在实数范围内不可分解
   • 对两个变量分别配方（通过系数矩阵的特征值进行坐标旋转）

速查表

判别式 \(b^2 - 4ac\)	圆锥曲线类型	特征值	因式分解
\(> 0\)	双曲线	两个不同实数 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)	\(a(x - \lambda_1 y)(x - \lambda_2 y)\)
\(= 0\)	抛物线	一个重根 \(\lambda\)	\(a(x - \lambda y)^2\)
\(< 0\)	椭圆	无实特征值	在 \(\mathbb{R}\) 上不可分解

快速分类

\[\boxed{b^2 - 4ac \begin{cases} > 0 & \text{双曲线} \\ = 0 & \text{抛物线} \\ < 0 & \text{椭圆} \end{cases}}\]

特征值公式

\[\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

垂直旋转（抛物线情形）

\[u = x - \lambda y, \qquad v = \lambda x + y \qquad (\text{斜率互为负倒数})\]

吸收一次项（双曲线情形）

求解 \(\begin{cases} A + B = d \\ -B\lambda_1 + A\lambda_2 = f \end{cases}\) 得到 \(A, B\)。渐近线：\(x - \lambda_i y + (\text{常数}) = 0\)。