克莱姆法则与用行列式求解方程组

Tip现实世界的联系：工程师如何求解大规模方程组

每当结构工程师设计桥梁时，都会得到数百个描述每个节点力的方程。每当电路设计师分析芯片时，都会从基尔霍夫定律得到数千个方程。他们如何同时求解所有这些方程？

克莱姆法则给出了一个优雅的理论解答：将系数矩阵的某一列替换为右端向量，计算行列式，再相除。它是物理模拟、经济模型和计算机图形学中各种求解器的基础——只要有方程组的地方就有它。

本课内容

• 复习：用余子式求 3×3 矩阵的逆
• 从逆矩阵推导克莱姆法则
• 将解释为行列式之比
• 解的存在性与唯一性（唯一解、无解、或无穷多解）
• 范德蒙行列式与三点拟合抛物线

Note复习：行列式与余子式（上午课程回顾）

对于 3×3 矩阵 \(M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\)，行列式为：

\[|M| = a(ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ce)\]

每个较小的 2×2 行列式称为余子式。例如，\(M_a = ei - fh\) 是划去 \(a\) 所在行和列后得到的余子式。

行列式表示三个行（或列）向量构成的平行六面体的有向体积。

课程视频

课程关键帧

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关键帧 3

关键帧 4

3×3 矩阵的逆

Important核心要点：用余子式求逆矩阵

对于可逆矩阵 \(M\)，其逆为：

\[M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} M_a & -M_d & M_g \\ -M_b & M_e & -M_h \\ M_c & -M_f & M_i \end{pmatrix}\]

注意转置：余子式交换行和列，符号遵循棋盘格模式（\(+, -, +, -, \ldots\)）。

关键细节： 必须除以行列式 \(|M|\)。如果不除，\(M\) 乘以这个矩阵得到的是 \(|M| \cdot I\) 而不是 \(I\)。

余子式矩阵（转置前）如下：

\[\begin{pmatrix} +M_a & -M_b & +M_c \\ -M_d & +M_e & -M_f \\ +M_g & -M_h & +M_i \end{pmatrix}\]

转置并除以 \(|M|\) 后，得到真正的逆矩阵。可以通过计算 \(M \cdot M^{-1}\) 来验证：

• 对角线元素产生 \(|M| / |M| = 1\)（匹配的元素-余子式对给出行列式）。
• 非对角线元素产生 \(0 / |M| = 0\)（不匹配的对给出零）。

Note为什么不匹配的对给出零？

当你用一行乘以”错误”的余子式——比如第二列 \((b, e, h)\) 乘以第一列的余子式 \((M_a, M_d, M_g)\)——结果为：

\[b \cdot M_a - e \cdot M_d + h \cdot M_g\]

这看起来像一个行列式，但它是一个将第一列替换为第二列的矩阵的行列式：

\[\begin{pmatrix} b & b & c \\ e & e & f \\ h & h & i \end{pmatrix}\]

两列相同意味着两个线性相关的向量——因此体积（行列式）为零。

从逆矩阵到解：推导克莱姆法则

三个方程构成的方程组：

\[\begin{cases} ax + by + cz = w_1 \\ dx + ey + fz = w_2 \\ gx + hy + iz = w_3 \end{cases}\]

可以写成 \(M \mathbf{v} = \mathbf{w}\)，其中 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)，\(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}\)。

两边乘以 \(M^{-1}\)：

\[\mathbf{v} = M^{-1} \mathbf{w} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} M_a & -M_d & M_g \\ -M_b & M_e & -M_h \\ M_c & -M_f & M_i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}\]

读出第一个分量：

\[x = \frac{w_1 M_a - w_2 M_d + w_3 M_g}{|M|}\]

Important克莱姆法则

\[x = \frac{|M_x|}{|M|}, \qquad y = \frac{|M_y|}{|M|}, \qquad z = \frac{|M_z|}{|M|}\]

其中 \(M_x\) 是将 \(M\) 的第一列替换为 \(\mathbf{w}\)，\(M_y\) 替换第二列，\(M_z\) 替换第三列：

\[M_x = \begin{pmatrix} w_1 & b & c \\ w_2 & e & f \\ w_3 & h & i \end{pmatrix}, \quad M_y = \begin{pmatrix} a & w_1 & c \\ d & w_2 & f \\ g & w_3 & i \end{pmatrix}, \quad M_z = \begin{pmatrix} a & b & w_1 \\ d & e & w_2 \\ g & h & w_3 \end{pmatrix}\]

Note为什么分子等于一个行列式？

以 \(x = \frac{w_1 M_a - w_2 M_d + w_3 M_g}{|M|}\) 为例。余子式 \(M_a, M_d, M_g\) 来自消去第一列。当我们将分子”强制”写成行列式形式时，需要第一列的元素与 \(w_1, w_2, w_3\) 匹配（因为这些是余子式的乘数）。

所以我们构造一个新矩阵，其第一列为 \((w_1, w_2, w_3)^T\)，其余保持不变。余子式 \(M_a, M_d, M_g\) 不变，因为它们只涉及第 2 列和第 3 列。所得行列式恰好是我们的分子。

示例：求解 3×3 方程组

Note计算示例

求解： \[\begin{cases} 2x - y + 3z = 9 \\ x + 4y - z = 2 \\ 3x + 2y + 5z = 21 \end{cases}\]

第 1 步： 写出系数矩阵并计算 \(|M|\)。

\[M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]

\[|M| = 2(4 \cdot 5 - (-1) \cdot 2) - 1((-1) \cdot 5 - 3 \cdot 2) + 3((-1) \cdot 2 - 4 \cdot 3)\] \[= 2(22) - 1(-11) + 3(-14) = 44 + 11 - 42 = 13\]

由于 \(|M| \neq 0\)，存在唯一解。

第 2 步： 计算 \(|M_x|\)（将第一列替换为 \((9, 2, 21)^T\)）：

\[M_x = \begin{pmatrix} 9 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ 21 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]

\[|M_x| = 9(22) - 2(-5 - 6) + 21(1 - 12) = 198 + 22 - 231 = -11\]

等等——让我们更仔细地重新计算：

\[|M_x| = 9(4 \cdot 5 - (-1) \cdot 2) - 2((-1) \cdot 5 - 3 \cdot 2) + 21((-1)(-1) - 4 \cdot 3)\] \[= 9(22) - 2(-11) + 21(1 - 12) = 198 + 22 - 231 = -11\]

嗯，这并不能得到简洁的答案。让我们换一个更简洁的例子。考虑：

\[\begin{cases} x + 2y + z = 9 \\ 2x - y + 3z = 8 \\ 3x + y - z = 2 \end{cases}\]

\[|M| = 1(-1 \cdot(-1) - 3 \cdot 1) - 2(2 \cdot(-1) - 3 \cdot 3) + 1(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3)\] \[= 1(1-3) - 2(-2-9) + 1(2+3) = -2 + 22 + 5 = 25\]

\[|M_x| = \begin{vmatrix} 9 & 2 & 1 \\ 8 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 9(1-3) - 8(-2-1) + 2(6+1) = -18 + 24 + 14 = 20 \;\;\Rightarrow\;\; x = \frac{20}{25} \;\; \text{——仍不简洁。}\]

手工计算代数很繁琐——而这正是课上要说明的要点。克莱姆法则概念简单但计算量大。实际中我们用它来理解结构，而不是做数值计算。

解的存在性与唯一性

系数矩阵的行列式 \(|M|\) 告诉我们一切：

条件	几何意义	解的情况
\(|M| \neq 0\)	平面交于一个点	唯一解
\(|M| = 0\) 且某个 \(|M_x| \neq 0\)	平面平行（无公共点）	无解
\(|M| = 0\) 且所有 \(|M_x| = |M_y| = |M_z| = 0\)	平面共线或重合	无穷多解

Warning\(\frac{0}{0}\) 陷阱

当分子和分母都为零时，结果是不定的——不是无穷大，也不是零。仅凭克莱姆法则无法确定答案。

• \(\frac{\text{非零}}{0} \to\) 无解（几何上：平面平行，交点”在无穷远处”）
• \(\frac{0}{0} \to\) 不定（需要进一步化简方程组来找到解的族）

在三维中，三个平面共享一条公共直线看起来像三页书在书脊处连接——沿该直线有无穷多个交点。

课堂示例：具有无穷多解的方程组

Note课堂示例

\[\begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ -3x + 6y - z = 10 \\ 2x - 4y + 14z = 55 \end{cases}\]

系数矩阵：

\[M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -3 & 6 & -1 \\ 2 & -4 & 14 \end{pmatrix}\]

第 1 步： 计算 \(|M|\)。

\[|M| = 1(6 \cdot 14 - (-1)(-4)) - (-3)((-2)(14) - 3 \cdot(-4)) + 2((-2)(-1) - 3 \cdot 6)\] \[= 1(84 - 4) + 3(-28 + 12) + 2(2 - 18)\] \[= 80 - 48 - 32 = 0\]

由于 \(|M| = 0\)，我们检查分子行列式。在这种情况下，它们也为零，确认了无穷多解。其中一个方程是其余方程的线性组合——它是多余的。

几何上，三个平面沿一条公共直线相交。

范德蒙行列式与曲线拟合

一个关键应用：通过三个点 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)、\((x_3, y_3)\) 拟合抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\)。

将每个点代入 \(y = ax^2 + bx + c\)：

\[\begin{cases} x_1^2 a + x_1 b + c = y_1 \\ x_2^2 a + x_2 b + c = y_2 \\ x_3^2 a + x_3 b + c = y_3 \end{cases}\]

系数矩阵为：

\[V = \begin{pmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \end{pmatrix}\]

Important范德蒙行列式

\[|V| = -(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)\]

只要 \(x_1, x_2, x_3\) 互不相同，此值永不为零。因此，三个不同的点总能确定一条唯一的抛物线。

Note如何确定首项系数是 \(-1\)？

我们可以通过观察根来分解行列式：当任意两个 \(x\) 值相等时，两行相同，行列式为零。所以 \((x_1 - x_2)\)、\((x_2 - x_3)\) 和 \((x_3 - x_1)\) 都是因子。

由于行列式是关于 \(x_i\) 变量的三次多项式（与乘积的次数一致），只剩下一个常数 \(k\) 需要确定。通过展开某一项——例如对角线乘积 \(x_1^2 \cdot x_2 \cdot 1 = x_1^2 x_2\)——并与 \(k(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)\) 中的同一项对比，我们发现 \(k = -1\)。

可视化抛物线拟合：拖动三个点查看通过它们的唯一抛物线。

计算复杂度

克莱姆法则需要计算 \(n+1\) 个行列式，每个行列式涉及 \(n!\) 项。对于大规模方程组：

变量数 (\(n\))	每个行列式的项数	总运算次数
3	6	~24
7	5,040	~40,320
10	3,628,800	~39,916,800
20	\(\approx 2.4 \times 10^{18}\)	不可行

克莱姆法则概念上很美但计算上很昂贵。对于大规模方程组，高斯消元法（\(O(n^3)\)）等数值方法要高效得多。

速查表

概念	公式 / 规则
行列式（3×3）	\(\|M\| = a(ei-fh) - d(bi-ch) + g(bf-ce)\)
逆矩阵	\(M^{-1} = \frac{1}{\|M\|} \cdot (\text{余子式矩阵})^T\)
克莱姆法则求 \(x\)	\(x = \frac{\|M_x\|}{\|M\|}\)（将第 1 列替换为 \(\mathbf{w}\)）
克莱姆法则求 \(y\)	\(y = \frac{\|M_y\|}{\|M\|}\)（将第 2 列替换为 \(\mathbf{w}\)）
克莱姆法则求 \(z\)	\(z = \frac{\|M_z\|}{\|M\|}\)（将第 3 列替换为 \(\mathbf{w}\)）
唯一解	\(\|M\| \neq 0\)
无解	\(\|M\| = 0\) 但某个分子 \(\neq 0\)
无穷多解	\(\|M\| = 0\) 且所有分子 \(= 0\)
范德蒙行列式	\(-(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)\)
三点确定抛物线	只要 \(x_1 \neq x_2 \neq x_3\)，总是唯一的

记住： 克莱姆法则将求解方程组转化为计算行列式。分母总是 \(|M|\)；分子是将你要求的变量对应的列替换后的结果。