圆锥曲线：椭圆、双曲线与焦点性质

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背景介绍

圆锥曲线是以不同角度切割圆锥所得到的曲线族：圆、椭圆、抛物线和双曲线。你已经知道圆（\(x^2 + y^2 = r^2\)），也见过抛物线（\(y = ax^2\)）。本课探索这个家族的另外两个成员——椭圆和双曲线——并揭示它们如何通过焦点性质相互联系。可以把椭圆想象成被拉伸的圆，双曲线想象成它们的”内外翻转”版本。这两种曲线都通过涉及两个特殊点（称为焦点）的距离条件来定义。

Important核心要点

1. 椭圆是到两个焦点的距离之和为常数的所有点的集合：\(d_1 + d_2 = 2a\)。
2. 双曲线是到两个焦点的距离之差为常数的所有点的集合：\(|d_1 - d_2| = 2a\)。
3. 对于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，焦距满足 \(a^2 = b^2 + c^2\)。
4. 对于双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，焦距满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
5. 椭圆是伸缩变换后的圆——将半径为 \(b\) 的圆水平拉伸 \(a/b\) 倍就得到椭圆。由此得到面积公式 \(A = \pi a b\)。
6. 双曲线有渐近线 \(y = \pm \dfrac{b}{a}\,x\)，可以通过因式分解 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right)\!\left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) = 1\) 来找到。
7. 抛物线是椭圆和双曲线之间的极限情形，定义为到一个点和一条直线的距离相等。

1. 椭圆是拉伸的圆

方程为

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

的椭圆可以从半径为 \(b\) 的圆

\[x^2 + y^2 = b^2,\]

出发，将每个点水平拉伸 \(\dfrac{a}{b}\) 倍得到。圆上的每个点 \((x_0, y_0)\) 映射为椭圆上的 \(\left(\dfrac{a}{b}\,x_0,\; y_0\right)\)。

Tip为什么拉伸圆能产生椭圆方程？

从圆 \(x^2 + y^2 = b^2\) 上的点 \((x_0, y_0)\) 出发，有 \(x_0^2 + y_0^2 = b^2\)。

拉伸后，新的点为 \((X, Y) = \left(\frac{a}{b}\,x_0,\; y_0\right)\)，即 \(x_0 = \frac{b}{a}\,X\)，\(y_0 = Y\)。

代入：

\[\left(\frac{b}{a}\,X\right)^2 + Y^2 = b^2 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1\]

这正是椭圆方程。

椭圆的面积

由于椭圆是半径为 \(b\) 的圆（面积 \(\pi b^2\)）水平拉伸 \(\dfrac{a}{b}\) 倍的结果，每一个无穷细的竖直条都按该比例加宽。因此，

\[A_{\text{椭圆}} = \pi b^2 \cdot \frac{a}{b} = \pi a b\]

当 \(a = b = r\) 时，这回到熟悉的 \(\pi r^2\)。

2. 椭圆的焦点

两个焦点 \(F_1(-c, 0)\) 和 \(F_2(c, 0)\) 满足 \(a^2 = b^2 + c^2\)。

Tip示例：用特殊点 \((0, b)\) 求焦点

考虑椭圆顶部的点 \(P = (0, b)\)。由对称性，到两个焦点的距离相等：

\[d_1 = d_2 = \sqrt{c^2 + b^2}\]

由于 \(d_1 + d_2 = 2a\)，得到：

\[2\sqrt{c^2 + b^2} = 2a \;\;\Longrightarrow\;\; c^2 + b^2 = a^2\]

这是一个简洁的几何证明，说明椭圆的焦距 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)。

3. 双曲线：方程与图形

双曲线

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

由距离之差为常数的条件定义：

\[|d_1 - d_2| = 2a\]

求截距

• \(x\) 轴截距： 令 \(y = 0\) 得 \(x = \pm a\)。
• \(y\) 轴截距： 令 \(x = 0\) 得 \(y^2 = -b^2\)，所以 \(y = \pm bi\)——纯虚数。没有实数 \(y\) 轴截距。

Tip示例：画 \(x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 1\) 的图形

这里 \(a = 1\)，\(b = 2\)。

• \(x\) 轴截距在 \((\pm 1, 0)\)。
• 没有 \(y\) 轴截距（它们在 \(\pm 2i\)）。
• 渐近线：\(y = \pm 2x\)。
• 曲线趋近但永不触及渐近线。
• 焦点在 \((\pm\sqrt{5}, 0)\)，因为 \(c^2 = 1 + 4 = 5\)。

通过因式分解求渐近线

对左边因式分解：

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right)\!\left(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}\right) = 1\]

两个因式都不能为零（因为它们的乘积是 1）。令每个因式为零得到不可触及的直线——渐近线：

\[y = +\frac{b}{a}\,x \qquad\text{和}\qquad y = -\frac{b}{a}\,x\]

4. 证明双曲线的 \(c^2 = a^2 + b^2\)

课程用三种不同的方法证明了这个关系。

方法一：利用顶点

Note利用 \((\pm a, 0)\) 的证明

取顶点 \((a, 0)\)。到两个焦点的距离为：

\[d_1 = c + a, \qquad d_2 = c - a\]

它们的差为：

\[d_1 - d_2 = (c + a) - (c - a) = 2a \;\checkmark\]

这确认了常数差，但尚未用 \(a\) 和 \(b\) 确定 \(c\)。

方法二：利用通径

Note利用焦点正上方的点的证明

设 \(P = (c, y_P)\) 为双曲线上位于焦点 \(F_2 = (c, 0)\) 正上方的点。这条竖直线段称为通径。

第一步： 将 \(x = c\) 代入双曲线方程：

\[\frac{c^2}{a^2} - \frac{y_P^2}{b^2} = 1\]

第二步： 与要证明的关系比较。如果 \(c^2 = a^2 + b^2\)，则 \(\frac{c^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}\)，所以：

\[\frac{y_P^2}{b^2} = \frac{c^2}{a^2} - 1 = \frac{b^2}{a^2} \;\;\Longrightarrow\;\; y_P = \frac{b^2}{a}\]

第三步： 从 \(P = (c, b^2/a)\) 到两个焦点的距离为：

\[d_2 = \frac{b^2}{a}, \qquad d_1 = \sqrt{4c^2 + \frac{b^4}{a^2}}\]

令 \(d_1 - d_2 = 2a\) 并求解得 \(c^2 = a^2 + b^2\)。

方法三：无穷远处的渐近论证

Note利用渐近线上无穷远点的证明

取双曲线上远离原点的点 \(P\)，此处曲线几乎与渐近线 \(y = \frac{b}{a}x\) 重合。

在无穷远处，直线 \(PF_1\) 和 \(PF_2\) 本质上平行于渐近线。差 \(d_1 - d_2\) 简化为线段 \(F_1 F_2\)（长度 \(2c\)）在渐近线方向上的投影。

渐近线与 \(x\) 轴的夹角 \(\theta\) 满足 \(\tan\theta = \frac{b}{a}\)。

投影：\(d_1 - d_2 = 2c \cos\theta\)。

由于 \(\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，条件 \(2c\cos\theta = 2a\) 给出：

\[c \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = a \;\;\Longrightarrow\;\; c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

同样的构造产生一个直角三角形，两直角边为 \(2a\) 和 \(2b\)，斜边为 \(2c\)，从几何上确认 \(c^2 = a^2 + b^2\)。

方法四：虚数代换（Toby 的洞见）

Note将双曲线改写为”虚椭圆”的证明

在椭圆方程中将 \(b\) 替换为 \(bi\)：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(bi)^2} = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

这正是双曲线方程。对于椭圆，\(a^2 = b_{\text{ell}}^2 + c^2\)。代入 \(b_{\text{ell}} = bi\)：

\[a^2 = (bi)^2 + c^2 = -b^2 + c^2 \;\;\Longrightarrow\;\; c^2 = a^2 + b^2\]

不需要几何——只是代数代换。

5. 焦点到渐近线的距离

Tip示例：求焦点到渐近线的距离

在无穷远处形成的三角形边长为 \(2a\)、\(2b\) 和 \(2c\)。从 \(F_2 = (c, 0)\) 向渐近线作垂线所构成的小三角形与这个大三角形相似（相同的角 \(\theta\)）。

由于大三角形的比例为 斜边 : 对边 = \(2c : 2b\)，小三角形（斜边为 \(c\)）的对边为：

\[d = \frac{b}{2c} \cdot 2c \cdot \frac{1}{2} = b\]

更简单地，由相似性：大三角形的边为 \(2c\)、\(2a\)、\(2b\)。小三角形的斜边为 \(c\)（大三角形斜边的一半），所以所有边都减半。焦点到渐近线的垂直距离就是：

\[\boxed{d = b}\]

6. 抛物线：极限情形

抛物线是介于椭圆和双曲线之间的圆锥曲线。

• 椭圆： 到两个焦点的距离之和 = 常数。
• 双曲线： 到两个焦点的距离之差 = 常数。
• 抛物线： 到一个焦点的距离 = 到一条直线（准线）的距离。

可以把抛物线看作一个焦点移到无穷远而另一个保持固定的情形，同时常数和/差也趋向无穷。

速查表

圆锥曲线	方程	距离性质	焦点关系
椭圆	\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(d_1 + d_2 = 2a\)	\(a^2 = b^2 + c^2\)
双曲线	\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(\lvert d_1 - d_2\rvert = 2a\)	\(c^2 = a^2 + b^2\)
抛物线	\(y^2 = 4px\)	\(d_{\text{焦点}} = d_{\text{准线}}\)	焦点在 \((p, 0)\)

快速参考

你想要的	怎么做
椭圆面积	\(A = \pi a b\)
椭圆的焦点	\((\pm\sqrt{a^2 - b^2},\; 0)\)
双曲线的焦点	\((\pm\sqrt{a^2 + b^2},\; 0)\)
双曲线的渐近线	\(y = \pm\dfrac{b}{a}\,x\)
通径长度	\(\dfrac{2b^2}{a}\)
焦点到渐近线的距离	\(b\)
双曲线因式分解	\(\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right)\!\left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) = 1\)