圆锥曲线：离心率、准线与抛物线的推导

Tip为什么这很重要

行星沿椭圆轨道绕太阳运行。卫星天线、手电筒反射镜和射电望远镜的形状都是抛物面。每颗 GPS 卫星都依赖双曲线计算。这三条曲线——椭圆、抛物线、双曲线——就是圆锥曲线，它们被一个优雅的统一思想联系在一起：点到焦点的距离与点到一条直线的距离之比。这个比值被称为离心率，是今天课程的主角。

本课内容

• 椭圆的焦点-准线定义（第三种定义）
• 证明椭圆上每一点的离心率比值 \(\varepsilon = c/a\)
• 双曲线的离心率（\(\varepsilon > 1\)）及准线 \(x = a^2/c\)
• 由 \(\varepsilon = 1\)（等距条件）推导抛物线方程
• 为什么所有抛物线彼此相似

课程视频

课程关键帧

椭圆焦点-准线的设定与顶点验证

代数证明：椭圆上任意点满足 PF/PL = c/a

双曲线的离心率与准线配置

由等距条件推导抛物线

预备知识

Note复习：上午课程中的椭圆基础

以原点为中心，沿 \(x\) 轴半长轴为 \(a\)、沿 \(y\) 轴半短轴为 \(b\) 的椭圆方程为

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

焦点在 \((\pm c, 0)\)，其中 \(c^2 = a^2 - b^2\)，椭圆上的每一点 \(P\) 满足

\[d_1 + d_2 = 2a\]

其中 \(d_1\) 和 \(d_2\) 分别是 \(P\) 到两个焦点的距离。这就是”距离之和为常数”的定义。椭圆也可以看作是一个圆在 \(y\) 方向上按比例 \(b/a\) 拉伸（缩放）后的结果。

Note复习：双曲线基础

以原点为中心的双曲线方程为

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

焦点在 \((\pm c, 0)\)，其中 \(c^2 = a^2 + b^2\)（注意是加号——这是与椭圆的关键区别）。对于双曲线上的任意一点 \(P\)，有 \(|d_1 - d_2| = 2a\)。

Note什么是准线？

准线是一条固定直线，与焦点配合使用来定义圆锥曲线。对于曲线上的每一点 \(P\)，点到焦点的距离与点到准线的距离之比是一个常数，称为离心率 \(\varepsilon\)。

Important核心要点

1. 离心率 \(\varepsilon = \dfrac{c}{a}\) 可以分类所有圆锥曲线：

   • \(\varepsilon < 1\)：椭圆
   • \(\varepsilon = 1\)：抛物线
   • \(\varepsilon > 1\)：双曲线

2. 准线位置：对于椭圆或双曲线，准线是竖直线 \(x = \dfrac{a^2}{c}\)。

3. 焦点-准线性质：对于曲线上的任意一点 \(P\)，\(\dfrac{PF}{PL} = \varepsilon\)（到焦点的距离除以到准线的距离）。

4. 抛物线方程：令 \(\varepsilon = 1\)，焦点在 \((0, c)\)，准线为 \(y = -c\)，可得 \(x^2 = 4cy\)。

5. 所有抛物线都是相似的——你总能通过缩放使一条抛物线与另一条重合（三次函数或指数函数则不具备此性质）。

1. 椭圆的第三种定义

椭圆已有两种定义：

• 定义 1（距离之和为常数）： 满足 \(d_1 + d_2 = 2a\) 的点的集合。
• 定义 2（拉伸的圆）： 将圆沿某方向按 \(b/a\) 缩放。

现在我们引入第三种——焦点-准线定义。

给定焦点 \(F_2 = (c, 0)\) 和一条竖直线 \(L\)（称为准线），位于 \(x = \dfrac{a^2}{c}\)，我们断言，椭圆上每一点 \(P\) 满足：

\[\frac{PF_2}{PL} = \frac{c}{a} = \varepsilon\]

拖动 \(\theta\) 滑块可以让点 \(P\) 沿椭圆运动。调整 \(a_0\) 和 \(b_0\) 来改变椭圆形状，观察准线的变化。

在顶点处验证

Tip在顶点 \(A = (a, 0)\) 处验证

右顶点为 \(A = (a, 0)\)。

到焦点的距离： \(AF_2 = a - c\)

到准线的距离： \(AL = \dfrac{a^2}{c} - a = \dfrac{a^2 - ac}{c} = \dfrac{a(a - c)}{c}\)

比值：

\[\frac{AF_2}{AL} = \frac{a - c}{\;\dfrac{a(a-c)}{c}\;} = \frac{c}{a} = \varepsilon \;\checkmark\]

Tip在顶点 \(B = (-a, 0)\) 处验证

左顶点为 \(B = (-a, 0)\)。

到焦点的距离： \(BF_2 = a + c\)

到准线的距离： \(BL = \dfrac{a^2}{c} + a = \dfrac{a^2 + ac}{c} = \dfrac{a(a + c)}{c}\)

比值：

\[\frac{BF_2}{BL} = \frac{a + c}{\;\dfrac{a(a+c)}{c}\;} = \frac{c}{a} = \varepsilon \;\checkmark\]

2. 对任意点的证明

Tip完整代数证明：椭圆上任意点满足 \(PF_2 / PL = c/a\)

设 \(P = (x_0, y_0)\) 在椭圆上，即 \(\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1\)。

到准线的距离（分母）：

\[PL = \frac{a^2}{c} - x_0\]

到焦点的距离（分子）：

\[PF_2 = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}\]

第 1 步——消去 \(y_0^2\)： 由椭圆方程得

\[y_0^2 = b^2\!\left(1 - \frac{x_0^2}{a^2}\right) = \frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2}\]

第 2 步——代入 \(PF_2^2\)：

\[PF_2^2 = (x_0 - c)^2 + \frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2}\]

展开：

\[= x_0^2 - 2cx_0 + c^2 + b^2 - \frac{b^2 x_0^2}{a^2}\]

由于 \(b^2 + c^2 = a^2\) 且 \(1 - \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c^2}{a^2}\)：

\[= \frac{c^2 x_0^2}{a^2} - 2cx_0 + a^2 = \left(\frac{cx_0}{a} - a\right)^{\!2} = \left(a - \frac{cx_0}{a}\right)^{\!2}\]

第 3 步——开方。 由于 \(-a \le x_0 \le a\)，有 \(\dfrac{c\,x_0}{a} \le c < a\)，所以 \(a - \dfrac{cx_0}{a} > 0\)。因此：

\[PF_2 = a - \frac{cx_0}{a}\]

第 4 步——求比值：

\[\frac{PF_2}{PL} = \frac{a - \dfrac{cx_0}{a}}{\dfrac{a^2}{c} - x_0} = \frac{\dfrac{a^2 - cx_0}{a}}{\dfrac{a^2 - cx_0}{c}} = \frac{c}{a} = \varepsilon \;\;\square\]

公因子 \(a^2 - cx_0\) 在分子和分母中约去，留下 \(c/a\)——与所选的点 \(P\) 无关。这就证明了焦点-准线定义与最初的”距离之和为常数”定义是等价的。

3. 圆锥曲线族中的离心率

离心率 \(\varepsilon\) 将三种圆锥曲线平滑地联系在一起：

曲线	关系	离心率	形状
圆	\(c = 0\)	\(\varepsilon = 0\)	完美的圆形
椭圆	\(c < a\)，\(\;a^2 = b^2 + c^2\)	\(0 < \varepsilon < 1\)	椭圆形
抛物线	焦距 = 准距	\(\varepsilon = 1\)	开口 U 形
双曲线	\(c > a\)，\(\;c^2 = a^2 + b^2\)	\(\varepsilon > 1\)	两支

拖动 \(\varepsilon\) 滑块。 观察圆锥曲线从椭圆（\(\varepsilon < 1\)）经过抛物线（\(\varepsilon = 1\)）变化到双曲线（\(\varepsilon > 1\)）。

4. 双曲线：准线在 \(x = a^2/c\)

对于双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(c^2 = a^2 + b^2\)：

• 焦点在 \((\pm c, 0)\)，且 \(c > a\)，所以 \(\varepsilon = c/a > 1\)。
• 准线仍在 \(x = a^2/c\)，但此时它位于顶点内侧（因为 \(a^2/c < a\)）。

Tip几何直觉：为什么双曲线的准线在内侧

对于椭圆，\(c < a\)，所以 \(a^2/c > a\)——准线在椭圆外侧，在顶点之外。

对于双曲线，\(c > a\)，所以 \(a^2/c < a\)——准线在中心和顶点之间。焦点在远处，准线被拉向内侧，\(\varepsilon > 1\) 意味着每个点到焦点的距离比到准线的距离更远。

Warning作业：证明双曲线的焦点-准线性质

任务： 对于双曲线 \(\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1\) 上的任意一点 \(P = (x_0, y_0)\)，证明

\[\frac{PF_2}{PL} = \frac{c}{a}\]

其中 \(F_2 = (c,0)\)，\(L\) 是直线 \(x = a^2/c\)。

提示： 代数过程与椭圆的证明非常相似。代入 \(y_0^2 = b^2\!\left(\dfrac{x_0^2}{a^2} - 1\right)\)，展开 \(PF_2^2\)，并利用 \(c^2 = a^2 + b^2\)。开方时要注意符号——考虑 \(P\) 在哪一支上以及 \(x_0\) 的范围。

5. 由 \(\varepsilon = 1\) 推导抛物线

当 \(\varepsilon = 1\) 时，每一点 \(P\) 到焦点和到准线的距离相等。我们设：

• 焦点 \(F\) 在 \((0, c)\)
• 准线 \(L\) 为 \(y = -c\)
• 原点在中点处（作为抛物线的自然顶点）

拖动 \(c_0\) 改变焦距——小的 \(c\) 得到窄抛物线，大的 \(c\) 得到宽抛物线。拖动 \(t_0\) 移动点 \(P\)，观察两段相等的距离（红色到焦点，绿色到准线）。

Tip抛物线方程的完整推导

设定： \(F = (0, c)\)，准线 \(y = -c\)，\(P = (x_0, y_0)\)。

条件： \(PF = PL\)，即 \(P\) 到焦点的距离等于 \(P\) 到准线的距离。

到准线的距离：

\[PL = y_0 + c\]

（\(P\) 到直线 \(y = -c\) 的竖直距离）

到焦点的距离：

\[PF = \sqrt{x_0^2 + (y_0 - c)^2}\]

令二者相等并两边平方：

\[(y_0 + c)^2 = x_0^2 + (y_0 - c)^2\]

展开两边：

\[y_0^2 + 2cy_0 + c^2 = x_0^2 + y_0^2 - 2cy_0 + c^2\]

消去 \(y_0^2\) 和 \(c^2\)：

\[2cy_0 = x_0^2 - 2cy_0\]

\[4cy_0 = x_0^2\]

结论： 去掉下标后，抛物线方程为

\[\boxed{x^2 = 4cy}\]

这是顶点在原点、开口向上的抛物线的标准形式。\(\square\)

关键观察

• 参数 \(c\)（焦距）控制抛物线的”宽窄”程度。
• \(c\) 较小 \(\Rightarrow\) 系数较大 \(\Rightarrow\) 窄抛物线（焦点和准线靠近）。
• \(c\) 较大 \(\Rightarrow\) 系数较小 \(\Rightarrow\) 宽抛物线（焦点和准线距离远）。
• 在 \(y = kx^2\) 的形式中，有 \(k = \dfrac{1}{4c}\)。

6. 所有抛物线都是相似的

Important一个令人惊讶的事实

每条抛物线都与其他任意一条抛物线相似。 你总可以通过放大或缩小使一条抛物线与另一条完全重合。这对三次函数、指数函数或大多数其他曲线而言是不成立的。

考虑两条抛物线：\(y = kx^2\) 和 \(y = \beta x^2\)，其中 \(k \neq \beta\)。

Tip证明概要：所有抛物线的相似性

为了证明两条抛物线相似，我们需要找到一个均匀缩放因子 \(\lambda\)，使得如果 \((x, y)\) 在一条抛物线上，则 \((\lambda x, \lambda y)\) 在另一条上。

如果 \((x, y)\) 在 \(y = kx^2\) 上，则 \(y = kx^2\)。

按 \(\lambda\) 缩放：新的点为 \((X, Y) = (\lambda x, \lambda y)\)，所以 \(x = X/\lambda\)，\(y = Y/\lambda\)。

代入：\(\dfrac{Y}{\lambda} = k \cdot \dfrac{X^2}{\lambda^2}\)，即 \(Y = \dfrac{k}{\lambda} X^2\)。

我们希望它等于 \(Y = \beta X^2\)，所以需要 \(\dfrac{k}{\lambda} = \beta\)，即

\[\lambda = \frac{k}{\beta}\]

这总是有解的，所以任意两条抛物线都是相似的。\(\square\)

反例（作业）： 对 \(y = kx^3\) 和 \(y = \beta x^3\) 尝试同样的论证。你会发现把 \(x\) 缩放 \(\lambda\) 倍会使 \(y\) 缩放 \(\lambda^3\) 倍（而不是 \(\lambda\) 倍），所以均匀缩放不起作用——系数不同的三次函数确实是不同的曲线。

拖动 \(k\) 和 \(\beta\) 查看两条不同的抛物线。蓝色虚线曲线显示的是第一条抛物线按 \(\lambda = k/\beta\) 缩放后的结果——它始终与红色曲线重合。

作业

Warning本课作业

1. 双曲线焦点-准线证明： 对于 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 上的任意一点 \(P = (x_0, y_0)\)，证明 \(\dfrac{PF_2}{PL} = \dfrac{c}{a}\)，其中 \(F_2 = (c,0)\)，\(L\!: x = a^2/c\)。（使用与椭圆证明类似的代数方法。）

2. 抛物线的相似性： 严格证明 \(y = kx^2\) 和 \(y = \beta x^2\) 总是相似曲线。然后作为反例，证明 \(y = kx^3\) 和 \(y = \beta x^3\)（\(k \neq \beta\)）不是相似的。

速查表

概念	公式 / 结论
椭圆方程	\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，\(\;a^2 = b^2 + c^2\)
双曲线方程	\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，\(\;c^2 = a^2 + b^2\)
抛物线方程	\(x^2 = 4cy\)（焦点在 \((0,c)\)，准线 \(y = -c\)）
离心率	\(\varepsilon = \dfrac{c}{a}\)
准线（椭圆/双曲线）	\(x = \dfrac{a^2}{c}\)
焦点-准线性质	曲线上所有点 \(P\) 满足 \(\dfrac{PF}{PL} = \varepsilon\)
点到焦点的距离（椭圆）	\(PF_2 = a - \dfrac{c\,x_0}{a}\)
圆锥曲线分类	\(\varepsilon < 1\)：椭圆，\(\;\varepsilon = 1\)：抛物线，\(\;\varepsilon > 1\)：双曲线
所有抛物线都是相似的	按 \(\lambda = k/\beta\) 缩放可将 \(y = kx^2\) 映射到 \(y = \beta x^2\)

快速参考：配方法求 PF

\[PF_2^2 = (x_0 - c)^2 + y_0^2 = \frac{c^2 x_0^2}{a^2} - 2cx_0 + a^2 = \left(a - \frac{cx_0}{a}\right)^{\!2}\]

关键代入：\(y_0^2 = b^2\!\left(1 - \dfrac{x_0^2}{a^2}\right)\) 且 \(b^2 + c^2 = a^2\)。