欧拉公式：为什么 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

Tip为什么欧拉公式重要

欧拉公式是数学中最美丽的方程之一。它连接了三个看似无关的世界：

• 指数函数（增长与衰减、复利）
• 三角函数（圆、波、旋转）
• 复数（带有”横向”方向的数）

它是理解单位圆上复数旋转等同于乘以指数的关键。工程师用它分析电路，物理学家在量子力学中使用它，信号处理在你每次在线播放音乐或视频时都依赖于它。

本课内容

• 加法函数与函数方程 \(f(x + y) = f(x) + f(y)\)
• 证明连续的加法函数必定是线性的
• 乘法函数与函数方程 \(g(x + y) = g(x) \cdot g(y)\)
• 通过对数将乘法转化为加法
• \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 的证明
• 连续性：严格的 epsilon 定义

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课程关键帧

预备知识

Note单位圆上的复数

复数 \(z = a + bi\) 有实部 \(a\) 和虚部 \(b\)，其中 \(i^2 = -1\)。

在单位圆（半径为 1）上，每个点可以写成：

\[z = \cos\theta + i\sin\theta\]

其中 \(\theta\) 是从正实轴逆时针测量的角度。实部是 \(\cos\theta\)（水平坐标），虚部是 \(\sin\theta\)（垂直坐标）。

Note正弦和余弦的角度加法公式

当你将两个角度分别为 \(\theta\) 和 \(\phi\) 的单位复数相乘时，得到角度为 \(\theta + \phi\) 的单位复数。展开乘法得到角度加法恒等式：

\[\cos(\theta + \phi) = \cos\theta\cos\phi - \sin\theta\sin\phi\]

\[\sin(\theta + \phi) = \cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi\]

这些可以通过在单位圆上作高并计算坐标来几何证明。

Note指数函数及其幂级数

我们之前已经证明（通过复利/二项式展开）：

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

指数函数的一个关键性质是 \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\)——指数相加对应值相乘。

Important核心要点

1. 加法函数满足 \(L(\theta + \phi) = L(\theta) + L(\phi)\)。若连续，唯一的解是 \(L(\theta) = k\theta\)（过原点的直线）。
2. 乘法函数满足 \(Z(\theta + \phi) = Z(\theta) \cdot Z(\phi)\)。取对数可将其转化为加法函数。
3. 对数连接乘法与加法：\(\log(ab) = \log a + \log b\)。
4. 欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 来自于证明 \(Z(\theta) = e^{k\theta}\) 并从单位圆的几何确定 \(k = i\)。
5. 连续性意味着相近的输入给出相近的输出：对于输出的任意所需精度，你都能找到足够接近的输入来保证它。

第一部分：单位复数的乘法性质

定义 \(Z(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta\)，即角度 \(\theta\) 处的单位复数。

由角度加法恒等式，我们可以验证：

\[Z(\theta) \cdot Z(\phi) = (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\phi + i\sin\phi)\]

展开乘法并利用 \(i^2 = -1\)：

\[= (\cos\theta\cos\phi - \sin\theta\sin\phi) + i(\cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi)\]

\[= \cos(\theta + \phi) + i\sin(\theta + \phi) = Z(\theta + \phi)\]

所以 \(Z\) 是一个乘法函数：角度相加对应复数相乘。

Tip示例：用具体角度验证

设 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)，\(\phi = \frac{\pi}{6}\)。

• \(Z\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos 60° + i\sin 60° = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(Z\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos 30° + i\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\)

相乘：

\[Z\!\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot Z\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right) + i\left[\left(\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = 0 + i \cdot 1 = i\]

而确实 \(Z\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos 90° + i\sin 90° = i\)。验证通过！

第二部分：证明连续加法函数是线性的

在直接处理 \(Z(\theta)\) 之前，我们先证明关于加法函数的基础结论。

定理。 若 \(L: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 连续且满足

\[L(\theta + \phi) = L(\theta) + L(\phi) \quad \text{for all } \theta, \phi \in \mathbb{R},\]

则 \(L(\theta) = k\theta\)，其中 \(k\) 为某个常数。

Note证明：加法 + 连续 意味着 线性

第一步：求 \(L(0)\)。

令 \(\theta = \phi = 0\)：

\[L(0) + L(0) = L(0) \implies 2L(0) = L(0) \implies L(0) = 0\]

所以函数过原点。

第二步：对正整数 \(n\) 证明 \(L(n\theta) = nL(\theta)\)。

令 \(\theta = \phi\)：\(L(2\theta) = 2L(\theta)\)。

然后 \(L(3\theta) = L(\theta + 2\theta) = L(\theta) + L(2\theta) = L(\theta) + 2L(\theta) = 3L(\theta)\)。

由数学归纳法：对所有正整数 \(n\)，\(L(n\theta) = nL(\theta)\)。

第三步：\(L\) 是奇函数。

令 \(\phi = -\theta\)：

\[L(\theta) + L(-\theta) = L(0) = 0 \implies L(-\theta) = -L(\theta)\]

所以结论推广到所有整数：对 \(n \in \mathbb{Z}\)，\(L(n\theta) = nL(\theta)\)。

第四步：推广到有理倍数。

由第二步，\(L(m \cdot \frac{\theta}{m}) = m \cdot L\!\left(\frac{\theta}{m}\right)\)，所以：

\[L\!\left(\frac{\theta}{m}\right) = \frac{1}{m} L(\theta)\]

组合起来：对任意整数 \(n, m\)（\(m \neq 0\)），\(L\!\left(\frac{n}{m}\theta\right) = \frac{n}{m}L(\theta)\)。

令 \(\theta = 1\) 并记 \(k = L(1)\)：

\[L(q) = kq \quad \text{对所有有理数 } q\]

第五步：用连续性推广到所有实数。

每个实数 \(x\) 都是有理数列 \(q_1, q_2, q_3, \ldots \to x\) 的极限。

由连续性：

\[L(x) = \lim_{n\to\infty} L(q_n) = \lim_{n\to\infty} kq_n = k \cdot \lim_{n\to\infty} q_n = kx\]

因此对所有 \(x \in \mathbb{R}\)，\(L(x) = kx\)。\(\blacksquare\)

第三部分：什么是连续性？

上面的证明依赖于连续性。以下是严格的定义。

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，如果：

\[f(x_0) = \lim_{h \to 0} f(x_0 + h)\]

更精确地说：对于任意所需精度 \(\delta > 0\)，存在容差 \(\varepsilon > 0\)，使得当 \(|h| < \varepsilon\) 时，有 \(|f(x_0 + h) - f(x_0)| < \delta\)。

Tip示例：为什么连续性在这里很重要

考虑一个在所有有理数上等于 \(kx\) 但在无理数上表现怪异的函数（这是可能的！）。这样的函数满足 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)，但不连续。

连续性是排除这些”病态”解的条件，迫使 \(L(x) = kx\) 成为唯一的答案。有理数在实数中是稠密的——任意两个实数之间都有有理数——所以一个在有理数上等于 \(kx\) 的连续函数必定在任何地方都等于 \(kx\)。

第四部分：通过对数从乘法到加法

单位复数函数 \(Z(\theta)\) 是乘法的：

\[Z(\theta + \phi) = Z(\theta) \cdot Z(\phi)\]

为了利用关于加法函数的结论，我们对两边取自然对数。

Note证明：\(\log(ab) = \log a + \log b\)

设 \(\log a = x\)，\(\log b = y\)，即 \(e^x = a\)，\(e^y = b\)。

则：

\[ab = e^x \cdot e^y = e^{x+y}\]

取对数：

\[\log(ab) = x + y = \log a + \log b \quad \blacksquare\]

这是将乘法转化为加法的基本性质。

定义 \(f(\theta) = \log Z(\theta)\)。则：

\[f(\theta + \phi) = \log Z(\theta + \phi) = \log\!\big[Z(\theta) \cdot Z(\phi)\big] = \log Z(\theta) + \log Z(\phi) = f(\theta) + f(\phi)\]

所以 \(f\) 是加法的！由于 \(Z(\theta)\) 连续（它平滑地描绘单位圆），而 \(\log\) 连续（对非零输入），复合函数 \(f\) 也连续。

由第二部分的定理：

\[f(\theta) = k\theta \quad \text{对某个常数 } k\]

从对数翻译回指数：

\[\log Z(\theta) = k\theta \implies Z(\theta) = e^{k\theta}\]

第五部分：确定 \(k = i\)

我们已经证明了 \(Z(\theta) = e^{k\theta}\)，但 \(k\) 是什么？

考虑接近零的无穷小角度 \(d\theta\)。幂级数给出：

\[Z(d\theta) = e^{k \cdot d\theta} = 1 + k \, d\theta + \frac{(k \, d\theta)^2}{2!} + \cdots \approx 1 + k \, d\theta\]

（当 \(d\theta\) 很小时，像 \((d\theta)^2\) 这样的高阶项可以忽略。）

现在看 \(Z(d\theta)\) 在单位圆上的几何意义：

• \(Z(0) = 1\)（实轴上的点 \((1, 0)\)）
• \(Z(d\theta)\) 相对于 \(Z(0)\) 有一个长度为 \(d\theta\) 的微小弧偏移
• 当 \(d\theta \approx 0\) 时，这段弧本质上是竖直的（垂直于实轴）
• 所以位移是 \(i \cdot d\theta\)（大小为 \(d\theta\)，方向为 \(90°\)）

比较：\(Z(d\theta) \approx 1 + k \, d\theta \approx 1 + i \, d\theta\)，所以 \(k = i\)。

因此：

\[\boxed{Z(\theta) = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}\]

这就是欧拉公式。

Tip示例：欧拉恒等式 \(e^{i\pi} + 1 = 0\)

在欧拉公式中令 \(\theta = \pi\)：

\[e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1\]

因此：

\[e^{i\pi} + 1 = 0\]

这个方程将数学中最基本的五个常数联系在一起：\(e\)、\(i\)、\(\pi\)、\(1\) 和 \(0\)。

第六部分：证明策略总结

这个证明遵循了一条优美的推理链：

1. 几何 \(\to\) 角度加法公式表明 \(Z(\theta)\cdot Z(\phi) = Z(\theta+\phi)\)
2. 代数 \(\to\) 取对数将乘法方程转化为加法方程
3. 分析 \(\to\) 唯一连续的加法函数是 \(f(\theta) = k\theta\)
4. 再次几何 \(\to\) 考察无穷小旋转可知 \(k = i\)

每一步使用不同的数学分支，它们完美地结合在一起证明了一个优美的公式。

速查表

概念	公式 / 定义
角度 \(\theta\) 处的单位复数	\(Z(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta\)
欧拉公式	\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
欧拉恒等式	\(e^{i\pi} + 1 = 0\)
加法函数	\(L(x+y) = L(x) + L(y)\)；若连续，则 \(L(x) = kx\)
乘法函数	\(Z(x+y) = Z(x)\cdot Z(y)\)
对数将乘法转为加法	\(\log(ab) = \log a + \log b\)
在 \(x_0\) 处的连续性	\(\forall\,\delta>0,\;\exists\,\varepsilon>0\) 使得 \(|h|<\varepsilon \Rightarrow |f(x_0+h)-f(x_0)|<\delta\)
\(e^x\) 的幂级数	\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
角度加法（余弦）	\(\cos(\theta+\phi) = \cos\theta\cos\phi - \sin\theta\sin\phi\)
角度加法（正弦）	\(\sin(\theta+\phi) = \cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi\)