三次函数图像、多项式长除法与根的重数

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背景介绍

你已经知道如何画二次函数的图像——找到顶点、对称轴和截距，就能得到一条抛物线。但当 \(x\) 的最高次幂是三而不是二时，会发生什么呢？三次多项式产生S形曲线，最多可以有两个转折点，它们的图像具有美妙的点对称性（180度旋转对称），而不是轴对称。

本课将教你一种强大而系统的手绘任意因式分解多项式的方法——蛇形法——然后将其推广到具有垂直渐近线和斜渐近线的有理函数。在此过程中，你将练习多项式长除法，这是求斜渐近线和化简有理表达式的关键工具。

Important核心要点

1. 蛇形法： 将多项式因式分解，标记所有x轴截距，标注每个根是单根/重根/三重根，然后从右向左”蛇行”画曲线——在奇数重数的根处穿过，在偶数重数的根处弹回。
2. 端部行为： 首项 \(a_n x^n\) 决定了当 \(x \to \pm\infty\) 时的走势。从右侧开始，根据 \(a_n\) 的符号确定起始方向。
3. 根的重数：
   • 奇数幂 \((x - r)^1, (x - r)^3, \ldots\) —— 图像穿过 x轴。
   • 偶数幂 \((x - r)^2, (x - r)^4, \ldots\) —— 图像弹回（触碰后折返）。
4. 多项式长除法 可以将一个多项式除以另一个，得到商和余数——这对求有理函数的斜渐近线至关重要。
5. 三次函数的对称性： 每一个三次函数 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 都有一个位于拐点处的对称中心。

课程关键帧

关键帧 1

关键帧 2

关键帧 3

关键帧 4

1. 画三次函数图像：函数族 \(y = x^3 + ax^2\)

考虑含一个参数的三次函数族：

\[y = x^3 + ax^2\]

因式分解与求根

提取公因子 \(x^2\)：

\[y = x^2(x + a)\]

由此可以立即看出：

• \(x = 0\) 是一个二重根（来自 \(x^2\) 因子）
• \(x = -a\) 是一个单根（来自 \((x + a)\) 因子）

Note为什么因式分解能告诉我们根的位置？

乘积等于零，意味着某个因子等于零。令 \(x^2 = 0\) 得 \(x = 0\)，令 \(x + a = 0\) 得 \(x = -a\)。每个因子的指数告诉你该根的重数。

应用蛇形法

1. 标记x轴截距： 在数轴上标出 \(x = 0\)（二重根，画一条横杠）和 \(x = -a\)（单根，画一个点）。
2. 确定端部行为： 首项为 \(x^3\)（正系数，奇数次），所以：
   • 当 \(x \to +\infty\) 时，\(y \to +\infty\) —— 从右上方开始。
   • 当 \(x \to -\infty\) 时，\(y \to -\infty\)。
3. 蛇行穿过截距：
   • 从右侧的 \(+\infty\) 向下。
   • 在 \(x = 0\)（二重根）处：弹回 —— 触碰x轴后折返，不穿过。
   • 继续向左到 \(x = -a\)（单根）处：穿过 x轴。
   • 继续向 \(-\infty\) 方向延伸。

探索这个三次函数族——拖动参数 \(a\) 的滑块：

求转折点

要找到转折点（局部最大值和最小值），对函数求导并令其为零：

\[y' = 3x^2 + 2ax = x(3x + 2a) = 0\]

解为：

\[x = 0 \quad \text{and} \quad x = -\frac{2a}{3}\]

Tip转折点排列在一条直线上！

当 \(a\) 变化时，非原点转折点的x坐标为 \(x = -\frac{2a}{3}\)，这是 \(a\) 的线性函数。所有转折点的轨迹构成一条直线，而不是曲线！然而，当你将x坐标代回原方程求y坐标时，轨迹在 \((x, y)\) 平面上变成一条三次曲线。

2. 蛇形法的一般推广

蛇形法适用于任何因式分解的多项式。以下是完整步骤：

分步算法

1. 因式分解 多项式，分解到不可再分。
2. 标记 数轴上所有的x轴截距。
3. 标注重数： 单根（点）、二重根（横杠）、三重根，等等。
4. 从右侧开始： 利用首项系数和次数确定当 \(x \to +\infty\) 时 \(y \to +\infty\) 还是 \(y \to -\infty\)。
5. 蛇行穿过： 从右向左，在每个根处：
   • 奇数重数（1, 3, 5, …）：穿过x轴。
   • 偶数重数（2, 4, 6, …）：在x轴处弹回（两侧符号相同）。

详解示例

Note示例：画 \(y = (3 - 2x)^3 \cdot 4x \cdot (7x + 1)^2 \cdot (x + 2)^4\) 的图像

第1步——根与重数：

因子	根	重数	行为
\((3 - 2x)^3\)	\(x = \frac{3}{2}\)	3（奇数）	穿过
\(4x\)	\(x = 0\)	1（奇数）	穿过
\((7x + 1)^2\)	\(x = -\frac{1}{7}\)	2（偶数）	弹回
\((x + 2)^4\)	\(x = -2\)	4（偶数）	弹回

第2步——首项系数：

展开首项：\((-2x)^3 \cdot 4x \cdot (7x)^2 \cdot (x)^4 = (-8)(4)(49)(1) \cdot x^{10} = -1568x^{10}\)

• 10次（偶数次），负首项系数。
• 两端：\(y \to -\infty\)。

第3步——从右侧开始蛇行：

从 \(-\infty\) 开始（最右端，在x轴下方）。从左到右排列各根：\(-2, -\frac{1}{7}, 0, \frac{3}{2}\)。

从右侧 \(x = +\infty\)（此时 \(y \to -\infty\)）开始：

• 接近 \(x = \frac{3}{2}\)：穿过（三重根）\(\to\) 现在在x轴上方
• 接近 \(x = 0\)：穿过（单根）\(\to\) 现在在x轴下方
• 接近 \(x = -\frac{1}{7}\)：弹回（二重根）\(\to\) 仍在x轴下方
• 接近 \(x = -2\)：弹回（四重根）\(\to\) 仍在x轴下方
• 继续向 \(x \to -\infty\) 延伸，\(y \to -\infty\)（一致！）

3. 端部行为参考表

首项	\(x \to +\infty\)	\(x \to -\infty\)
\(+x^{\text{even}}\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)
\(-x^{\text{even}}\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)
\(+x^{\text{odd}}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(-x^{\text{odd}}\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)

Tip记忆技巧

奇数次：两端方向相反（像字母S或反S形）。

偶数次：两端方向相同（都向上像U形，或都向下像倒U形）。

然后首项系数决定哪个方向是”上”。

4. 多项式长除法

画有理函数图像时，我们需要求斜（倾斜）渐近线。用到的工具就是多项式长除法。

基本思想

就像 \(157 \div 12 = 13\) 余 \(1\) 一样，我们可以写成：

\[\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\]

其中 \(Q(x)\) 是商（多项式部分），\(R(x)\) 是余数。

当 \(x \to \pm\infty\) 时，分式 \(\frac{R(x)}{D(x)} \to 0\)（当 \(R\) 的次数小于 \(D\) 的次数时），所以函数趋近于 \(Q(x)\)。如果 \(Q(x)\) 是线性的，那条直线就是斜渐近线。

课堂示例

Note完整解题示例：用长除法求斜渐近线

我们需要做以下除法：

\[\frac{49x^4 + 210x^3 + 253x^2 + 60x + 4}{16x^3 - 48x^2 + 36x}\]

第1步： 提取分母的公因数以简化运算：

\[16x^3 - 48x^2 + 36x = 4x(4x^2 - 12x + 9) = 4x(2x - 3)^2\]

第2步： 进行除法。比较首项：

\[\frac{49x^4}{16x^3} = \frac{49}{16}x\]

第3步： 回乘并相减：

\[\frac{49}{16}x \cdot (16x^3 - 48x^2 + 36x) = 49x^4 - 147x^3 + \frac{49 \cdot 36}{16}x^2\]

第4步： 从被除式中减去，得到下一项。继续直到余数的次数小于3。

结果为：

\[Q(x) = \frac{49x + 357}{16}\]

这就是斜渐近线：\(y = \frac{49}{16}x + \frac{357}{16}\)。

关键洞察： 余数首项的符号告诉你图像从渐近线的上方还是下方趋近。正的余数首项系数意味着图像在 \(|x|\) 较大时位于渐近线上方。

交互式探索多项式长除法——观察有理函数如何紧贴其斜渐近线：

5. 有理函数与渐近线

当一个多项式因子出现在分母中时，它的零点变为垂直渐近线，而不是x轴截距。蛇形法可以自然推广：

垂直渐近线的规则

分母因子	重数	渐近线处的行为
\((x - r)^1\)	奇数	\(y\) 改变符号（从 \(+\infty\) 到 \(-\infty\)，或反之）
\((x - r)^2\)	偶数	\(y\) 保持相同符号（两侧都趋向 \(+\infty\) 或都趋向 \(-\infty\)）

Tip为什么这与根的规则相同？

逻辑完全一致！在根处，偶数幂意味着 \((x - r)^{2k}\) 在 \(r\) 附近始终非负，因此函数不变号。在垂直渐近线处，分母中的偶数幂意味着分母在 \(r\) 附近始终为正（或始终为负），所以函数在两侧向同一方向趋向无穷大。

画有理函数图像：完整步骤

1. 将分子和分母完全因式分解。
2. 分子零点 \(\to\) x轴截距（遵循重数行为）。
3. 分母零点 \(\to\) 垂直渐近线（遵循重数行为）。
4. 通过比较次数或做长除法求水平/斜渐近线。
5. 通过余数的符号判断图像从渐近线的上方还是下方趋近。
6. 从右向左蛇行穿过所有截距和渐近线。

6. 根的重数：穿过与弹回

并排对比三种行为：

基本法则：

\[\boxed{\text{Odd multiplicity} \implies \text{crosses} \qquad \text{Even multiplicity} \implies \text{bounces}}\]

Note为什么这个法则成立？

考虑因子 \((x - r)^k\) 在 \(x = r\) 附近的行为：

• 如果 \(k\) 是偶数，则 \((x - r)^k \geq 0\) 对 \(r\) 附近的所有 \(x\) 成立。\(y\) 的符号不变，所以图像触碰x轴后折返。
• 如果 \(k\) 是奇数，则 \((x - r)^k\) 在 \(x\) 经过 \(r\) 时改变符号（一侧为负，另一侧为正）。所以图像必须穿过x轴。

更高次的奇数重数（如三重根）以更平缓的方式穿过——图像在x轴附近停留更久，形成类似拐点的形状。

7. 三次多项式的对称性

每个三次多项式在其拐点处都有一个对称中心。对于 \(y = x^3 + ax^2\)：

• 拐点在 \(x = -\frac{a}{3}\) 处
• 图像关于该点具有180度旋转对称性

Note如何求对称中心

对于一般三次函数 \(y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\)：

1. 拐点在 \(y'' = 0\) 处： \[y'' = 6Ax + 2B = 0 \implies x = -\frac{B}{3A}\]

2. 将此x值代回原方程得到y坐标。

3. 点 \(\left(-\frac{B}{3A},\; y\!\left(-\frac{B}{3A}\right)\right)\) 就是对称中心。

这意味着如果你将整个三次函数图像绕该点旋转180度，你会得到同样的图像。

速查表

多项式作图：蛇形法

步骤	操作
1	将多项式完全因式分解
2	在数轴上标记所有x轴截距
3	标注每个根：单根（点）、二重根（横杠）、三重根，等等
4	根据首项确定端部行为
5	从右侧开始蛇行穿过：在奇数根处穿过，在偶数根处弹回

根的重数快速参考

重数	图像行为	直观表示
1（单根）	直接穿过	\(\nearrow\!\!\searrow\)
2（二重根）	弹回（触碰后折返）	\(\cup\) 或 \(\cap\)
3（三重根）	平缓地穿过拐点	在根处呈S形
4（四重根）	平缓弹回	平坦的 \(\cup\) 或 \(\cap\)

多项式长除法

\[\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\]

• \(Q(x)\) = 商（如果是线性的，则为渐近线）
• \(R(x)\) = 余数（决定从上方还是下方趋近）
• 匹配首项，回乘，相减，重复

有理函数渐近线

次数比较	渐近线类型
\(\deg(N) < \deg(D)\)	水平渐近线：\(y = 0\)
\(\deg(N) = \deg(D)\)	水平渐近线：\(y = \frac{a_n}{b_n}\)
\(\deg(N) = \deg(D) + 1\)	斜渐近线：\(y = Q(x)\)，通过长除法求得